Paracompacto y compacto generado espacios

Question

Hace un par de días, gracias a Strom del excelente libro Clásico y Moderno Homotopy Teoría, empecé a leer en forma compacta generado espacios, débil espacios de Hausdorff y de forma compacta generado débil espacios de Hausdorff (la mejor decisión en mi vida hasta ahora). El clásico artículo de Steenrod Conveniente de la Categoría de Espacios Topológicos y Strickland abiertamente disponibles exposición de La Categoría de CGWH Espacios han sido extremadamente valiosos recursos.

No sólo tienen estos textos muestra mí no es un conceptualmente forma satisfactoria de acuerdo con la topología algebraica topología sin ningún tipo de negocio gracioso, pero por primera vez en la historia, entiendo la importancia de la categoría de punto de vista (y Yoneda del lema).

Yo en varias ocasiones trató de agarrar topología algebraica en el pasado, y han ido de alguna manera cada vez, sin embargo, yo siempre fue detenido por la topología, y han llegado a StackExchange en un par de ocasiones para hacer preguntas. He aprendido acerca de la clasificación de los espacios para que el vector de paquetes del director y de los paquetes y, por tanto, conocer la utilidad de la paracompact espacios, así que quiero saber si mi nuevo paraíso (la categoría de CGWH espacios) los contiene.

1) Se paracompact (resp. regular, normal...) los espacios de forma compacta generado?

1') Son paracompact (resp. regular, normal...) espacios de Hausdorff compacto generado?

2) Si no, es la $k$-ification de un paracompact (resp. regular, normal...) el espacio todavía paracompact (resp. regular, normal...)?

3) ¿existen recursos gratuitos en línea que dar una minuciosa cuenta de paracompactness y otras propiedades de separación (tales como la regularidad, de la normalidad, metrizability) y su interacción?

El artículo sobre nLab me unían a un conjunto de apuntes que tengo hasta el momento sólo se guarda en mi pc (http://www.helsinki.fi/~hjkjunni/ la parte superior.$1$ para la parte superior.$10$).

Answer 1

La respuesta a todas las versiones de (1) y (1') es no.

Deje $D$ ser una multitud innumerable y $p$ a un punto de no $D$. Deje $X=\{p\}\cup D$, y topologize $X$ haciendo de cada punto de $D$ aislado y hacer $V\subseteq X$ un nbhd de $p$ fib $p\in V$ $X\setminus V$ es contable. En otras palabras, si $\tau$ es la topología en $X$, $$\tau=\wp(D)\cup\{X\setminus C:C\subseteq D\text{ and }|C|\le\omega\}\;.$$

($X$ ha sido llamado el punto de Lindelöfization de los innumerables espacio discreto $D$.)

$X$ es fácilmente visto para ser paracompact, Hausdorff, y hereditariamente normal, pero $X$ no es un $k$espacio: el único compacto de subconjuntos de a $X$ son los subconjuntos finitos, y no generar la topología.

El $k$-ification de un espacio de Hausdorff es, sin duda Hausdorff, ya que la nueva topología es más fino que el original; yo no sé acerca de las otras propiedades de la parte superior de mi cabeza.