$P_0-P_1 :$
Con su elección de coordenadas cartesianas, considere la bola con el radio de $r$ inicio con velocidad inicial $\vec{v} = (0,v_0,0)$ inicial y de la velocidad angular $\dot{\theta} = (\omega^*,0,0)$ (por lo que su back-spin). Supongo sabemos la distancia de $P_0$ $P_1$antes de su golpea a otra pelota. Llame a la distancia $s$. Debido a que su giro hacia atrás, la fuerza de fricción debe actuar sobre el balón a la negativa de la dirección de su velocidad por lo que el total de la fuerza se $\vec{F} = (0,-f,N-mg)$ donde $f$ es su fricción cinética con la magnitud de $f=\mu_kN$. Por la ley de Newton en la $y-$eje y el par de ecuaciones
$$
-f = m a_y \quad \text{y} \quad -fr = I \alpha
$$
En esta situación, $a_y \neq \alpha r$ debido a su deslizamiento. Con la distancia $s$ la velocidad final será
$$
v^2 = v_0^2 +2a_y s = v_o^2 -2\frac{f}{m}s = v_0^2 - 2\mu_kgs, \quad v = \sqrt{v_0^2 - 2\mu_kgs} \qquad (1)
$$
Para el cálculo de la final de la velocidad angular necesitamos el tiempo de viaje de la pelota con la distancia $s$, que es
$$
s = v_ot + \frac{1}{2} a_y t^2 = v_0t - \frac{1}{2}\mu_kg t^2 \ffi \frac{1}{2}\mu_kg t^2 -v_0t + s = 0
$$
y resolver para $t$. La velocidad angular será
$$
\omega = \omega^* + \alpha t = \omega^*- \frac{fr}{I} t = \omega^* - \frac{\mu_k mgr}{I} t \qquad (2)
$$
Así que a $P_1$, la velocidad es $\vec{v} = (0,v,0)$ $\dot{\theta} = (\omega,0,0)$ y todavía deslizamiento (de lo contrario, la bola no se mueve de vuelta después de golpear la bola por otra, como muestra el vídeo).
$P_1 - P_1 $ (colisión) :
Considere la posibilidad de la colisión de ser elástico (sin deformación de las bolas) de modo que la energía cinética conservado
$$
\frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}I \omega'^2 + \frac{1}{2} M V^2 + \frac{1}{2}I_M \omega_M^2\qquad (3)
$$
con $v'$ $\omega'$ son la velocidad y la velocidad angular de la bola mientras que $M,I_M, V, \omega_M$ son la masa, momento de inercia, la velocidad y la velocidad angular de la bola objetivo, respectivamente. Ahora, considere la ecuación del momento de Impulso a la ley de Newton de abajo
$$
\sum \vec{F}_i = \sum \frac{d\vec{p_i}}{dt} \quad \text{o} \quad \sum \vec{F_1} + \sum \vec{F_2} = \frac{d\vec{p_1}}{dt} + \frac{d\vec{p_2}}{dt}
$$
integrar, hemos ecuación del momento de impulso
$$
(\vec{p_1})_{\text{inicial}} + (\vec{p_2})_{\text{inicial}} + \int (\sum \vec{F_1} + \sum \vec{F_2}) dt = (\vec{p_1})_{\text{final}} + (\vec{p_2})_{\text{final}}
$$
Donde el índice de $i=1,2$ representan sistema de dos bolas, y la suma por encima de representar a todos los términos de la fuerza que actúan sobre cada una de las bolas. Los de fuerza son las fuerzas internas : fuerza de contacto y las fricciones, y las fuerzas externas : peso, las fuerzas normales y los roces de la tabla. Las fuerzas internas se viene en pares de modo que si sumamos las fuerzas de $\sum \vec{F_1} + \sum \vec{F_2}$, los que se cancela el uno al otro. La fuerza normal y el peso se anulan entre sí. Así que sólo tenemos fricciones de la tabla que contribuir, y de hecho en el pequeño intervalo de tiempo (como se chocan) el producto de estos de fuerza constante y el intervalo de tiempo es tan pequeño, así que puede ser descuidado,
$$
\int (\sum \vec{F_1} + \sum \vec{F_2}) dt = \int_{0}^{\delta} (\vec{f_1} +\vec{f_2} ) dt = (\vec{f_1} +\vec{f_2}) \delta \aprox 0
$$
Por lo tanto, el momentum se conserva. Así
$$
(\vec{p_1})_{\text{inicial}} + (\vec{p_2})_{\text{inicial}} = (\vec{p_1})_{\text{final}} + (\vec{p_2})_{\text{final}} \qquad (4)
$$
Sabemos que el destino de la bola no se mueve por el principio para $(\vec{p_2})_{\text{initial}} = \vec{0}$. También la dirección de la velocidad de la bola objetivo será perpendicular a la línea de la etiqueta para $\vec{p_2})_{\text{final}} = M\vec{V} = (-MV \cos \alpha, MV \sin \alpha,0)$. Y también se $(\vec{p_1})_{\text{initial}} = (0,mv,0)$. No sabemos la dirección de la bola después de la colisión, así que le acaba de decir $(\vec{p_1})_{\text{final}} = (mv'_x,mv_y',0)$. Por lo tanto, $x$- componente y el $y-$componente del impulso eq. $(4)$
$$
0 = mv_x'- MV \cos \alpha, \qquad mv = mv_y' + MV \sin \alpha \qquad (5)
$$
reescritura y ambos lados al cuadrado
$$
(mv_x')^2 = (MV \cos \alpha)^2, \qquad (mv_y')^2 = (mv - MV \sin \alpha)^2
$$
y, a continuación, agregue ellos, usted tendrá
$$
m^2v'^2 = m^2v^2 + M^2 V^2 - 2 mm vV \sin \alpha \qquad (6)
$$
Ahora tenemos que hacer otra suposición de que la velocidad angular de la pelota no se ve afectado por la colisión de modo que en la ecuación $(3)$, $\omega'=\omega$ y $\omega_M = 0$ (en realidad creo que este es el caso en la piscina debido a que la superficie de las bolas es muy suave). De lo contrario será muy difícil de resolver porque ahora la velocidad angular no se desvanecen debido a la de fricción horizontal y vertical de fricción (lo siento, no tenemos la imagen) y tenemos que analizar el uso de otra ecuación que es angular de impulso-momentum ecuación derivada de la integración del par de la ecuación. Por esta suposición $(3)$ se
$$
mv^2 = mv'^2 + MV^2
$$
Combine esto y $(6)$ hemos
$$
0 = V^2 (1+ \frac{M}{m}) - 2vV \sin \alpha \implica que V = \frac{2 \sin \alpha}{1+ \frac{M}{m}}
$$
Y por lo tanto por $(5)$ tendrás $v' =\sqrt{ v_x'^2+v_y'^2}$ también.
$P_1 - P_2$ (después de la colisión) :
Tenemos que analizar dos de la bola después de la colisión. Vamos a considerar el más fácil primero que es el destino de la pelota. Justo después de la colisión, el destino de la pelota que se mueve con una velocidad de $V$ en la dirección de la línea perpedicular a la línea de la etiqueta. Llame a esta línea como $y'-$eje y la línea de la etiqueta $x'-$eje. Debido a esto, el objetivo de la pelota debe deslizarse por un momento y tenemos que encontrar cuando este deslizamiento es más. Por la Ley de Newton y el par de eq. (a lo largo de $y'$-axis) y el hecho de que $f = \mu_kMg$
$$
-f =-\mu_k Mg= Ma, \qquad -fr=-\mu_kMg r=I_M \alpha
$$
Por lo que la velocidad y la velocidad angular de este objetivo pelota será
$$
V_M = V + = V-\mu_k g t, \quad \omega_M = \omega_M0 + \alpha t = 0 - \frac{\mu_kMgr}{I_M} t
$$
El signo menos en la $\omega_M$ sólo significa que el roatation es top spin. El antideslizante condición ocurrir que en algún momento $t^*$) si la magnitud de $V_M$ $\omega_M r$ son equall. Así que establezca $|V_M| = |\omega_M|r$
$$
V - \mu_k g t^* = \frac{\mu_kMgr}{I_M} t^* \implica t^* = \frac{V}{\mu_k g(1+ \frac{rM}{I_M})}
$$
Poner esto en el $V_M = V + at^* = V-\mu_k g t^*$ tenemos la velocidad final de la bola objetivo hasta antideslizante condición
$$
V_M = \frac{V}{\frac{I_M}{Mr}+1}
$$
Y hemos terminado con la bola objetivo.
Para la bola después de la colisión, la bola tiene la condición de $\vec{v'} = (v_x',v_y',0)$ con back spin $\dot{\theta}= (\omega,0,0)$ como antes de la colisión. Debido a la back spin, hay una fuerza de fricción $\vec{f_1} = (0,-f_1,0)$ y por el movimiento en la $+x$-la dirección (por $v_x'$) tenemos la segunda fuerza de fricción $\vec{f_2}= (-f_2,0,0)$ con sus resultantes $\vec{f}=\vec{f_1}+\vec{f_2}$ satisfacer $|\vec{f}| = \mu_kmg$. Y en este punto simplemente tengo una duda acerca de cómo proceder a analizar esto. Voy a actualizar otra vez si sé.
