Dadas $n\times n$ $A$ singular matriz, demostrar que $\operatorname{rank}(\operatorname{adj}A) \leq 1$

Question

Dadas $n\times n$ $A$ singular matriz, demostrar que $\operatorname{rank}(\operatorname{adj}A) \leq 1$

De las propiedades de la matriz adjunta sabemos que $$ A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{det}(A)\cdot I$ $

Desde $A$ es singular sabemos $\operatorname{det}(A) = 0$, así $$ A \cdot \operatorname{adj}(A) = 0$$

Esto es donde yo estoy perdido, creo que debo decir que para el de arriba a pasar uno de lo dos, $A$ o $\operatorname{adj}(A)$ tendría que ser la matriz de $0$, pero si $A = 0$ y $\operatorname{adj}(A) = 0$, que significa que no dije nada.

Se necesita un toque principal.

Answer 1

Ya que es singular, $A$ $\mbox{rank}A\leq n-1$.

Caso 1: $\mbox{rank}A\leq n-2$. $A$ No contiene inversible submatriz de orden $n-1$. Por cada menor de orden $n-1$ es cero. ¿Qué puede concluir acerca de $\mbox{adj}(A)$?

Caso 2: $\mbox{rank}A= n-1$. Por nulidad de la fila, obtenemos $\dim\ker A=1$. Ahora $A\cdot \mbox{adj}(A)=0$ significa que el rango de $\mbox{adj}(A)$ se encuentra en $\ker A$. So...