Hay un resultado general sobre la existencia de soluciones (no triviales) de la ecuación diofántica:
$$Ax^2 + By^2 = Cz^2$$
¿para A, B, C conocido por pares enteros positivos, relativamente privilegiada?
¿Lo que si sabemos C es 1 o 3?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sí; en realidad, esta es una de las únicas clases de Diophantine ecuaciones para los que exista una respuesta! En primer lugar vamos a hacer algunos simplificación de las observaciones. Observar que es bastante fácil de saber lo que sucede cuando $z = 0$, así que supongo $z \neq 0$. El próximo observar que la búsqueda entero de soluciones, es equivalente a encontrar soluciones racionales, y debido a que la escala de las tres variables por la misma constante, podemos suponer $z = 1$, por lo que estamos resolviendo $Ax^2 + By^2 = C$ racionales $x, y$.
Es un clásico resultado de que si hay una solución, hay una manera sencilla de describir todas las otras soluciones: si $(x_0, y_0)$ es una solución, entonces cualquier línea de la forma $(x_0 + at, y_0 + bt)$ donde $a, b$ son fijos racionales se cruza con la curva de $Ax^2 + By^2 = C$ en exactamente un punto, y esta intersección debe ser racional; por el contrario, cualquier otra solución racional surge de esta manera.
Por lo que es suficiente para encontrar una solución única. Para ello la clave es la Hasse-Minkowski teorema, lo cual nos indica que existen soluciones más $\mathbb{Q}$ si y sólo si existen más de $\mathbb{R}$, y en las p-ádico números de $\mathbb{Q}_p$ para todos los números primos $p$.
Es muy fácil comprobar si existe una solución más de $\mathbb{R}$, por lo que basta con comprobar si existen soluciones más $\mathbb{Q}_p$ todos los $p$. Si $p \nmid 2ABC$, entonces el Chevalley-Advertencia teorema demuestra que la ecuación tiene una solución en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, y por Hensel el lema de estas soluciones puede ser actualizado a las soluciones en $\mathbb{Z}_p \subset \mathbb{Q}_p$.
Así que se reduce a la comprobación de la un número finito de números primos dividiendo $2ABC$. Pero para cualquier particular, de primer, esto es más o menos una aplicación de la reciprocidad cuadrática junto con Hensel del lema de nuevo.
Este es el material clásico; creo que se puede encontrar una lista más completa exposición en el principio de Cassels' Conferencias sobre Curvas Elípticas.
David HAust
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Como Qiaochu mencionado, este es un problema clásico que es un ejemplo prototípico de una ecuación que es susceptible a la local-global de enfoque. Legendre obtenido una solución completa por el descenso de alrededor de 1785. Más tarde, como $p$-ádico métodos surgido, se dio cuenta de que Legendre de la solución podría ser elegantemente reformulada a través de tales local-global de las técnicas. Usted puede encontrar un buen legible cuatro páginas de la introducción en el pp 238-242 de Harvey Cohn: Avanzado de la Teoría de números.
Kerry
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