¿Son continuas todas las funciones biyectivas?

Question

Estoy enseñando a mi mismo topología con un libro, y estoy tratando de entender mejor la continuidad. Usando la siguiente definición,

Si X e Y son espacios topológicos, un mapa $f$ : $X \rightarrow Y$ se dice que es continua si para cada subconjunto abierto $U \subseteq Y$ su preimagen $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$ .

Sé que la siguiente función no es continua:
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x + \frac{|x|}{x} & \quad x \neq 0 \\ 0 & \quad x = 0 \end{array} \right. $$

Si ponemos $U=(-1/2,+\infty)$ . Entonces $U$ están abiertas en $\mathbb R$ . Pero $f^{-1}(U)=[0,+\infty)$ que no está abierto. Por lo tanto, $f$ no es continua.

Sin embargo, esta función no es una biyección. Si redefino el rango para que sea una biyección como sigue:
$f: \mathbb{R} \rightarrow (-\infty, 1)\cap\{0\}\cap(1,\infty) $
Ahora $U$ no pueden definirse de la misma manera.

Es la versión biyectiva de $f$ ¿ahora es continuo? Si lo es, ¿puede alguien dar un ejemplo de una función biyectiva simple de una dimensión que no sea continua?

Answer 1

A la pregunta de tu título y última frase: no es cierto que todas las funciones biyectivas sean continuas.

Considere la función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ (con la topología habitual) dada por $$f(x) = \begin{cases} x & \text{ if } x \not \in \mathbb{Z} \\ x + 1 & \text{ if } x \in \mathbb{Z} \end{cases}$$ Entonces esta es una función biyectiva, que envía enteros a enteros (y los desplaza hacia arriba en $1$ ) y enviando todos los demás números reales a sí mismos. Pero no es continuo.

En general, no hay motivos para sospechar que exista una relación fuerte entre la continuidad y la biyectividad.

Answer 2

El punto $0$ es un punto aislado en el conjunto $R=(\leftarrow,1)\cup\{0\}\cup(1,\to)$ que es el rango de su función $f$ . Si se toma $f$ como una función de $\Bbb R$ a $R$ , $\{0\}$ es un conjunto abierto en $R$ y $f^{-1}[\{0\}]=\{0\}$ no está abierto en $\Bbb R$ Así que $f$ sigue sin ser continua.

Una biyección bastante fácil de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ que no es continua es la función definida por

$$f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ \frac1x,&\text{otherwise}\;. \end{cases}$$

Esta función no es continua en $0$ aunque es continua en todos los demás lugares.

En general, no hay conexión entre la continuidad y la biyectividad.

Answer 3

Su función no es continua como una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ por lo que no puede ser continua si se limita el codominio al rango (con la topología relativa).

Creo que el ejemplo decisivo que demuestra que no hay conexión entre biyectividad y continuidad es el siguiente. Consideremos dos topologías $\tau$ y $\sigma$ en el plató $X$ . Entonces el mapa de identidad $I_X\colon(X,\tau)\to(X,\sigma)$ es continua si y sólo si $\sigma\subseteq\tau$ ( $\tau$ es más fino que $\sigma$ ), por definición de continuidad. Dadas dos topologías, no hay razón para que una sea más fina que la otra.

Si se tiene un mapa biyectivo $f\colon (X,\tau)\to(Y,\sigma)$ puede definir una topología $\hat\sigma$ en $X$ declarando que $U\in\hat\sigma$ si y sólo si $f(U)\in\sigma$ . Entonces se puede comprobar que la continuidad de $f$ es equivalente a la continuidad de $I_X\colon (X,\tau)\to(X,\hat\sigma)$ Así que estamos de nuevo en la misma situación que antes.

La propiedad de $(X,\tau)$ que

para todos los espacios topológicos $(Y,\sigma)$ toda biyección $(X,\tau)\to(Y,\sigma)$ es continua

sólo se satisface si $|X|\le1$ por lo que sólo hay una topología en $X$ .

Si se restringe a las topologías de Hausdorff, entonces la propiedad caracteriza a los espacios finitos, ya que en todo conjunto infinito existe una topología no discreta de Hausdorff.

Answer 4

También hay un bonito argumento para contar que no todas las biyecciones pueden ser continuas. También muestra que las dos nociones tienen muy poco en común. (NOTA: Asumo AC para todo lo que sigue, de lo contrario contar biyecciones es difícil)

Para $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua, tienes que $f$ se determina por sus valores en $\mathbb{Q}$ Esto significa que se obtiene como máximo el número de subconjuntos de tamaño contable de los números reales que no es mayor que los números reales $|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$ .

Por otro lado, el número de biyecciones de $\mathbb{R}$ es $\mathfrak{c}^\mathfrak{c}$ . Que es estrictamente más grande.

Ahora se pueden obtener fácilmente más funciones continuas que biyecciones asegurándose de que no hay biyecciones (debido a la cardinalidad) sino muchos conjuntos abiertos en el espacio de origen y muy pocos en el espacio de destino. Así que considere $\mathbb{R}$ y $\mathbb{N}$ con la topología discreta en $\mathbb{R}$ y la topología indiscreta en $\mathbb{N}$ que hace que todas las funciones entre los dos espacios sean continuas pero ninguna es biyección.