¿Hay una forma intuitiva de entender "la existencia de una base para cada espacio del vector es equivalente a axioma de la opción"?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Caveat lector: Hay un montón de fácil de entender declaraciones en matemáticas, cuyas pruebas están lejos de ser triviales o intuitivo. Este no es exactamente el caso aquí, pero no es el caso que no es el caso aquí. Voy a intentar dar una handwavy explicación de por qué esto funciona, pero esto está lejos de ser trivial.
Así, la prueba en sí misma, va a través de algunos otros equivalentes. Por lo que podría ser un poco más fácil de entender el círculo completo:
- El axioma de elección.
- El lema de Zorn.
- Todo espacio vectorial tiene una base.
- El axioma de elección múltiple (cada familia no vacía de conjuntos de tamaño, al menos, $2$ tiene una función que elige de cada conjunto finito subconjunto).
$(1)\implies(2)$ es un argumento bien conocido de inducción transfinita, y $(2)\implies(3)$ es el clásico uso del lema de Zorn. $(3)\implies(4)$ puede ser intuitivamente viene del hecho de que las combinaciones lineales son finitos, por lo que podemos definir un espacio vectorial y de su razón de elegir los subconjuntos finitos de la familia. Finalmente, $(4)\implies(1)$ puede ser handwavingly descrito como de reiterar el subconjunto proceso hasta que nos quedamos sólo con los únicos de los que la elección es canónica.
Las pruebas a las que ellos mismos supuesto, requieren un montón más de detalles, y el de arriba intuitiva y handwaving explicación está lejos de ser suficientes para poder llegar a ellos. Pero ese es el principal intuición, creo.
