Que $\{F_n\}_{n\geq 0}$ ser la secuencia de Fibonacci.
Demostrar que el número de primos $p$ así que $p\mid F_{p-1}$ es infinito.
He intentado utilizar la inducción, sin resultado alguno.
Respuestas
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Asumir que $p$ es un primer para que $5$ es un residuo cuadrático.
Es equivalente, por reciprocidad cuadrática, $p\equiv\pm 1\pmod{10}$.
Puesto que la fórmula explícita de Fibonacci números da: $$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right),$ $ siempre que $\sqrt{5}\in\mathbb{F}_p$, del pequeño Teorema de Fermat sigue que: $$ F_{p-1}\equiv F_0 \equiv 0\pmod{p}$ $ como quería. Podemos recuperar una infinitud de números primos impares $\equiv 1\pmod{5}$ factoraje $\Phi_5(n)=\frac{n^5-1}{n-1}=n^4+n^3+n^2+n+1$para diferentes valores de % de $n$, por ejemplo.
Lissome
Puntos
31
Sugerencia 1: Probar que si la ecuación $$x^2-x-1=0 \pmod{p}$$ tiene dos soluciones $x_1 \neq x_2$ entonces existe constantes $C_1, C_2$ tal que
$$F_n \equiv C_1x_1^n+ C_2x_2^n \pmod{p}$$
Sugerencia 2: En este caso, ¿qué se puede decir acerca de la $F_{p-1}$$F_0$?
Sugerencia 3: Para $p >5$ $$x^2-x-1=0 \pmod{p}$$ tiene dos soluciones $x_1 \neq x_2$ si y sólo si $5$ es un residuo cuadrático módulo $p$.
La reciprocidad cuadrática le dice que esto sucede exactamente al $p$ tiene ciertos restos modulo $5$, y Dirichclet Teorema de telss que hay infinitamente muchos de esos primos..
