La relación entre los valores propios de matrices $XY$ y $YX$

Question

¿Si $X \in \mathbb{C}^{m \times n}$ y $Y \in \mathbb{C}^{n \times m}$ ($m \geq n$), cómo probar que $\lambda (XY) = \lambda (YX) \cup \underbrace{\left \{ 0, ..., 0 \right \}}_{m-n}$? $\lambda \left ( \cdot \right )$ Significa el conjunto de valores propios.

Answer 1

Puede modificar la prueba del teorema determinante de Sylvester para mostrar \neq 0 $$\text{det} \left( \lambda I_m - XY \right) = \text{det} \left( \lambda I_n - YX \right)$XY$ for all $YX$. This shows equivalence for all nonzero eigenvalues. For the zero eigenvalues, an application of the fundamental theorem of algebra is sufficient. Note that the characteristic polynomial of $m$ (or $n$) must have $\lambda\neq0$ $ (or$$ ) roots. Since we have examined all roots $\lambda, que las raíces restantes deben ser cero.

Edit: Esta prueba no funciona, ver los comentarios.