¿Cuál es el ciclo inverso de la permutación?

Question

Dadas permutaciones cíclicas, por ejemplo,

$ = (123)$, $_{2} = (45)$,

¿cuáles son los ciclos inversos $^{-1}$, $_2^{-1}$?

Saludos.

Answer 1

Para ampliar mi comentario:

Para encontrar la inversa de una permutación, simplemente escríbela al revés. Si $\tau = (1243)(67)$ entonces $\tau^{-1}=(76)(3421)$ que luego puede reescribirse como $\tau^{-1}=(1342)(67)$.

Para la pregunta anterior: $(123)^{-1}=(321)=(132)$.

¿Cómo se puede demostrar esto?

Primero considera un solo ciclo: $\sigma=(a_1a_2 \dots a_k)$. Si $b \not\in \{a_1,\dots,a_k\}$, entonces $\sigma(b)=b$ por lo que $\sigma^{-1}(b)=b$. Por lo tanto, $b$ no debería aparecer en la inversa. Luego $\sigma(a_i)=a_{i+1}$ por lo que $\sigma^{-1}(a_{i+1})=a_i.
Por lo tanto, si $\sigma$: $a_1 \mapsto a_2 \mapsto a_3 \mapsto \cdots \mapsto a_k \mapsto a_1$,
entonces $\sigma^{-1}$: $a_k \mapsto a_{k-1} \mapsto a_{k-2} \mapsto \cdots \mapsto a_1 \mapsto a_k$.
Esto es precisamente el ciclo $(a_k,a_{k-1}\dots,a_2, a_1)$ que no es más que $\sigma$ escrito al revés.

Ahora, ¿qué pasa con una lista de ciclos? Digamos que $\sigma=\sigma_1\cdots \sigma_\ell$. Recordemos que $\sigma^{-1}=(\sigma_1\cdots \sigma_\ell)^{-1}=\sigma_\ell^{-1}\cdots \sigma_1^{-1}$. Por lo tanto, invertimos la lista de ciclos y luego escribimos cada uno al revés -- así que la inversa es simplemente todo escrito al revés.

Una cosa a tener en cuenta: esto aún funciona incluso si $\sigma$ no está escrita en términos de ciclos disjuntos.

Answer 2

Entonces, tienes que $\sigma_1$ es el ciclo tal que,

$$\begin{align} 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 1\end{align}$$

Su inverso, $\sigma_1^{-1}$ es un ciclo tal que la composición, $ \sigma_1 \circ \sigma_1^{-1}=\sigma_1^{-1} \circ \sigma_1$ es la identidad. Entonces, el ciclo inverso debería lucir así:

$$\begin{align} 2 \mapsto 1 \\ 3 \mapsto 2 \\ 1 \mapsto 3\end{align}$$

¿Cómo se expresa esto en notación de ciclo?

$\sigma_1^{-1} \equiv(213)$

Voy a dejarte intentar con el otro.

---

Una manera particularmente fácil de hacer esto, una vez que entiendes qué hacen los inversos es: ¡simplemente escribir el ciclo al revés!

Nota que para $(123)$, esto es simplemente $(321)$. Ahora, recuerda, que el conjunto de todas las permutaciones forma un grupo. En un grupo, los inversos son únicos. Entonces, ¿puedes decirme por qué $(321)$ y $(213)$ son lo mismo?

Answer 3

Otra forma de analizar el quinto párrafo de Bill Cook en su respuesta:

Primero considera un solo ciclo: $\sigma=(a_1a_2\dots a_k)$. Si $b \not\in \{a_1,\dots,a_k\}$, entonces $\sigma(b)=b$ por lo que $\sigma^{-1}(b)=b$. Por lo tanto, $b$ no debería aparecer en el inverso. Luego $\sigma(a_i)=a_{i+1}$ así que $\sigma^{-1}(a_{i+1})=a_i. Entonces, si $\sigma$: $a_1 \mapsto a_2 \mapsto a_3 \mapsto \cdots \mapsto a_{k - 1} \mapsto a_k \mapsto a_1$, entonces $\sigma^{-1}$:
$a_1 \color{aqua}{\leftarrow} a_2 \color{aqua}{\leftarrow} a_3 \color{aqua}{\leftarrow}\cdots \color{aqua}{\leftarrow} a_{k - 1} \color{aqua}{\leftarrow} a_k \color{aqua}{\leftarrow} a_1 \iff$
$a_k \color{aqua}{\mapsto} a_{k-1} \color{aqua}{\mapsto} a_{k-2} \color{aqua}{\mapsto} \cdots \color{aqua}{\leftarrow} a_2 \color{aqua}{\mapsto} a_1 \color{aqua}{\mapsto} a_k$.
Esto es precisamente el ciclo $(a_k,a_{k-1}\dots,a_2, a_1)$ que no es más que $\sigma$ escrito al revés.

Answer 4

Cada permutación n>1 se puede expresar como un producto de 2-ciclos.

Y cada 2-ciclo (transposición) es inverso de sí mismo.

Por lo tanto, el inverso de una permutación es simplemente el producto inverso de sus 2-ciclos.

(ab)^-1 = b^-1 a^-1