¿Puede alguien demostrar matemáticamente cómo cerradura del cardán sucede cuando se hace rotación de la matriz con los ángulos de Euler para yaw, pitch, roll? Estoy teniendo un tiempo difícil entender lo que está sucediendo aún después de leer varios artículos sobre Google.
¿Es la única para usar quaternions?
"Los Ángulos de Euler" que se puede pensar como una función de $(S^1)^3 \to SO_3$ o $\mathbb R^3 \to SO_3$. La derivada de esta función no siempre tiene rango 3, por lo que han degenerado submanifolds donde la función es de muchos a uno. En este caso especial que se llama "gimbal lock".
Un formalismo que evita este es cuaterniones. Por supuesto, puedes usar otros formalismos, y muchos otros formalismos son, naturalmente, relativa a la cuádrupla versión, por lo que las personas tienden a gravitar a la versión de cuaterniones. Una versión que está estrechamente relacionado con cuaterniones sería utilizar el mapa exponencial de la unidad de cuaterniones grupo. Pero esto también tiene "gymbal de bloqueo", pero de un tipo diferente. Pero tiene el más atractivo de la interpretación como rotaciones sobre el eje arbitrario -- este es quizás más útil si sólo estás interesado en las rotaciones que difieren de las de la matriz identidad (o algunos matriz dada) por una pequeña cantidad, son muy naturales coordenadas en "pequeña escala" en $SO_3$.
¿Hay algún propiedades especiales que te gustaría que para las coordenadas en $SO_3$? Que podría dar una idea de a donde quieres ir con esto.
Edición en respuesta a 1er comentario: Hay varias convenciones para los ángulos de Euler. Vamos a usar lo que Wikipedia llamadas "uso Apropiado de los Ángulos de Euler" http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles
Dado un vector unitario $\vec v \in \mathbb R^3$ y un número de $\theta \in \mathbb R$, vamos a $R_{\vec v, \theta}$ ser la matriz de rotación que corrige $\vec v$ y que gira a la izquierda por un ángulo de $\theta$ en el plano ortogonal a $\vec v$. Una versión de "uso Apropiado de los ángulos de Euler" sería:
$$R_{(1,0,0), \theta_1} R_{(0,1,0), \theta_2} R_{(1,0,0), \theta_3}$$
El "Tait-Bryan" variante sería el uso de los tres vectores, aviso anterior sólo se utiliza la norma de vectores en el plano xy. El Tait-Bryan variante es el adecuado para cabeceo/balanceo/guiñada de un avión. Wikipedia tiene una excelente fotografía:
En este caso tendrías
$$R_{(1,0,0),\theta_1} R_{(0,1,0), \theta_2} R_{(0,0,1),\theta_3} $$
$\theta_3$ sería el rollo, $\theta_2$ el terreno de juego y $\theta_1$ la guiñada. Para relacionar mi coordenadas de la imagen, $(1,0,0)$ es la dirección en la que el avión está apuntando. $(0,1,0)$ es la dirección de la izquierda. $(0,0,1)$ es la dirección de la amarilla eje que sobresale de la parte superior del plano.
Usted puede escribir las matrices de manera bastante explícita:
$$ R_{(1,0,0), \theta} = \pmatrix{ 1 & 0 & 0 \cr 0 & \cos \theta & -\sin \theta \cr 0 & \sin \theta & \cos \theta }$$
Así que en este caso, una ocurrencia de "gimbal lock" es $\theta_2 = 0$. En el Tait-Bryan variante sería cuando el avión ya sea apuntando hacia arriba o hacia abajo, que es $\theta_2 = \pm \pi/2$.
Esto se refiere a Ryan respuesta, pero era demasiado largo para un comentario.
Yo estaba confundido por un tiempo demasiado, pero creo que ahora entiendo. Para evitar malentendidos, el Tait–Bryan a los ángulos debe ser llamado título/elevación/banco, en lugar de guiñada/pitch/roll. El título de ángulo se refiere a las rotaciones sobre el $z$ eje en el espacio, no acerca de la guiñada eje que, por definición, es perpendicular al "cuerpo de ala de avión" de el avión, de modo que la "imagen excelente" es en realidad un poco engañoso en este contexto! El gimbal lock se ilustra en Wikipedia se produce cuando el avión está apuntando hacia arriba o hacia abajo (elevación = 90 grados), por lo que cambiar el banco es la misma cosa como el cambio de la rúbrica. (Es decir, no hay momentáneamente no hay manera de cambiar la coronapor la manipulación de la partida/elevación/banco ángulos!)
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