¿Declaración sobre la existencia de un polinomio - verdadero o falso?

Question

Declaración: Existe un polinomio $P$ tal que $|P(x) - \cos(x)| \leq 10^{-6}$ para todos (real) $x$.

Mi respuesta: Falso. Todos los polinomios de grado $n \geq 1$ son ilimitados como $x$ tiende a infinito. Un polinomio de grado $n = 0$ está limitada sólo cuando está en la forma $y = a$ (línea horizontal), pero esto no va a ayudar, porque $\cos(x)$ varía entre el $[-1,1]$.

Mi pregunta: Es mi respuesta razonable? Estoy especialmente preocupado por 'unbound\ed' polinomios como este es el término que acabo de hacer.

Por favor, no me des la respuesta completa, sólo quiero saber las fallas en mi argumento y obtener algunos consejos para las mejores soluciones.

Answer 1

Gracias a todos! El modelo de respuesta que me dieron es

Falso. En términos generales, a cualquier polinomio puede hacerse tan grande como quiera tomar x a ser muy grande (si es de grado mayor que cero), mientras que $| \cos x| \leq 1$ . Obviamente no hay ningún polinomio de grado cero (es decir, sin número constante) para que la declaración sostiene.

Esto es de Avanzada de Problemas en el Núcleo de las Matemáticas por Siklos. No estoy muy preocupado por los detalles, estoy más que feliz de ser ampliamente a la derecha que estoy en esta ocasión.

De nuevo, gracias a todos!

Answer 2

Podría escribir $y(x)=a$ $y=a$ señalar es lo que significa una función constante, como $y(a)=a$ no es constante. Parte (línea horizontal) no es necesario.

Answer 3

También es falso porque una función continua P satisface la desigualdad tendría infinitamente muchos ceros.