Cuántos números complejos $z=x+iy$ hay que $x+y=1$ y $e^{i(x^2+y^2)}=1.$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema que dice:

Cuántos números complejos $z=x+iy$ están allí, que $x+y=1$ $e^{i(x^2+y^2)}=1.$ Las opciones son como sigue:
$1.0$
$2.$Cero, pero un número finito de
$3.$Countably infinito
$4.$Uncountably infinito.

Mi Intento: De $e^{i(x^2+y^2)}=1= e^{i(2n \pi)}$ da $x^2+y^2=2n \pi$ (donde $n \in \mathbb N$) que indica la familia de círculos concéntricos con centro en el origen. La solución es la intersección de a $x^2+y^2=2n \pi$ y la línea de $x+y=1$.Pero ahora no puedo sacar la conclusión.Voy en la dirección correcta? Alguien puede arrojar luz sobre el mismo.Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

$x+y=1$ describe una línea. Cualquier círculo suficientemente grande alrededor del origen se cruza con este lline en dos puntos. Por lo tanto debemos tener contable muchas soluciones.

Answer 2

Sí, pero ahora cuenta cuantas veces hacer la línea y los círculos se intersecan. Parece que sería la opción 3 o 4 aunque uno es más probable si se considera el dominio de n. ¿Cuántos valores únicos de n existen?