Segundo-contable implica elección contable separable / Axiom

Question

Deje $(X,\mathscr T)$ ser un espacio topológico, y $(B_n)_{n\ge1}$ un contables base de X. en Virtud de esta hipótesis, X es separable.

La prueba de esta afirmación es la siguiente:

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que todas las $B_n$ son no vacías, porque los vacíos pueden ser descartados. Ahora, para cada una de las $B_n$, elija cualquier elemento $x_n \in B_n$. Deje $D$ el conjunto de estos $x_n$. $D$ es claramente contables. Pretendemos que $D$ es denso en $X$.

Para ver esto, vamos a $U$ ser cualquier vacío abierto subconjunto de $X$. A continuación, $U$ contiene algunos $B_n$, y por lo tanto, $x_n \in U$. Pero por construcción, $x_n \in D$, lo $D$ intersecta $U$, lo que demuestra que el $D$ es densa. $\blacksquare$

Mi pregunta es, ¿este teorema se puede probar, sin el axioma de contables elección?

Answer 1

No. No puede ser probado sin el axioma de elección que cada segundo contables espacio es separable. De hecho, los siguientes son equivalentes:

1. El axioma de contables elección.
2. Cada segundo contables espacio es separable.

Para un tema relacionado (con referencias), No resultando (segunda contables) $\Rightarrow$ (Lindelöf) requiere el axioma de elección? O en el siguiente documento:

Horst Herrlich, la Elección de los principios elementales de topología y análisis Comentario. De matemáticas. Univ. Carolin 38,3 (1997) 545-552.

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Es coherente (con el fracaso de la elección) que hay un subconjunto de los números reales, que es infinito Dedekind-finito, que no es finito y no tiene ningún contables subconjunto infinito.

Tome $D$ se a dicho subconjunto, entonces es fácil mostrar que $D$ en la relación de la topología es segundo contable, pero claramente no separable.

Answer 2

Hay una reversión inmediata. Permita que$(A_n)$ sea una secuencia contable de conjuntos no vacíos. A los efectos de la elección contable, podemos suponer que los conjuntos son parciales disjuntos. Permita que$T$ sea un espacio cuyos puntos sean$\bigcup_n A_n$ y cuya topología esté generada por la base$\{A_n : n \in \omega\}$. Permita que$\{ c_m : m \in \omega\}$ sea un subconjunto denso contable enumerado de$T$. Para cada$n$ let$j(n)$ sea mínimo, de modo que$c_{j(n)} \in A_n$. Entonces$\{c_{j(n)} : n \in \omega\}$ es un conjunto de opciones para la secuencia$(A_n)$.