Propiedades del proceso de ruido blanco

Question

El proceso estocástico $\{u_t\}$ es un proceso de ruido blanco si y sólo si

1. $Eu_t=0$ para todos los enteros $t$ y
2. $E(u_t u_{t+k})=\sigma^2\textbf{1}\{k=0\}$ para todos los enteros $t$ y $k$ , donde $\sigma>0$ y $\textbf{1}\{k=0\}$ es igual a $1$ si y sólo si $k=0$ e igual a $0$ si y sólo si $k\neq 0$ .

He escuchado de mi profesor que un proceso de ruido blanco satisface $E_tu_{t+1}=0$ , donde $E_t$ es la expectativa dada la información sobre $\{u_k\}_{k\leq t}$ .

Pregunta. ¿Es cierto que un proceso de ruido blanco $\{u_t\}$ satisface $E_tu_{t+1}=0$ ? Si la respuesta es afirmativa, ¿por qué es cierta y cómo se deduce esa conclusión? Si la respuesta es "no", ¿cuál es el contraejemplo, y es cierto bajo alguna suposición razonable (por ejemplo, suponiendo que las variables aleatorias del proceso estocástico $\{u_t\}$ son independientes)?

Intento 1. Por (2), $E(u_tu_{t+1})=0$ . De ello se deduce, por la ley de las expectativas totales, que $E(E_t(u_tu_{t+1}))=0$ . Dado que estamos condicionando la información sobre el proceso de ruido blanco para los periodos de tiempo $k\leq t$ se deduce que $E(u_tE_tu_{t+1})=0$ . Ahora, $E_tu_{t+1}=0$ es consistente con la última expresión, pero no veo cómo se sigue deductivamente (si lo hace). (Dado que considero que $E_tu_{t+1}$ como un número real dado, creo que la última expresión se simplifica a $Eu_t\cdot E_tu_{t+1}=0$ que se satisface independientemente de que $E_tu_{t+1}=0$ porque $Eu_t=0$ por (1).)

Intento 2. Después de considerar el comentario de Alexey a mi pregunta, intenté escribir una respuesta.

Para empezar, si asumimos la independencia en el sentido de que $u(t)$ es una variable estocástica independiente de su historia antes del período de tiempo $t$ entonces la distribución de $u_{t+1}|I_t$ coinciden con la distribución de $u_{t+1}$ , donde $I_t$ es la información establecida para el período de tiempo $t$ . Así, en este caso tenemos $E_tu_{t+1}=Eu_{t+1}=0$ .

Después de esto traté de encontrar un contraejemplo a la conclusión de que $E_tu_{t+1}=0$ para cualquier proceso de ruido blanco $\{u_t\}$ . He encontrado un proceso de ruido blanco dependiente, pero no uno que satisfaga $E_tu_{t+1}\neq 0$ . El ejemplo es el siguiente.

Dejemos que $\{v_t\}$ sea un proceso i.i.d. tal que $P(v_t=-1)=P(v_t=1)=1/2$ para todos los enteros $t$ . Definir un nuevo proceso estocástico por $$u_t=v_t(1-v_{t-1}).$$ En primer lugar, déjame comprobar que se trata de un proceso de ruido blanco. En primer lugar, \begin{align}Eu_t&=E(v_t(1-v_{t-1}))\\ &=Ev_tE(1-v_{t-1})\\ &=0\cdot 0 =0\end{align} donde la segunda igualdad se deduce por independencia y la tercera por el hecho de que $Ev_t=1/2-1/2=0$ .

En segundo lugar, para cualquier número entero $t$ , \begin{align}Eu_tu_{t+k}&=E(v_t(1-v_{t-1})v_{t+k}(1-v_{t+k-1}))\\ &=E(v_t(1-v_{t-1})(1-v_{t+k-1}))E(v_{t+k})\\ &=E(v_t(1-v_{t-1})(1-v_{t+k-1}))\cdot 0\\ &=0\end{align} si $k\neq 0$ y, si $k=0$ , \begin{align}Eu_t^2 &=Ev_t^2E(1-v_{t-1})^2\\ &=((-1)^2/2+1^2/2)+(2^2/2+0^2/2)\\ &=2\end{align} que es finito.

Así, $\{u_t\}$ es un proceso de ruido blanco. ¿Depende el proceso? Sí, ya que, por ejemplo $u_t=2$ implica $v_t=1$ y $v_{t-1}=-1$ y por lo tanto $u_{t+1}=v_{t+1}(1-v_t)=0$ . Esto significa que $$P(u_t=2,u_{t+1}=2)=0.$$ Sin embargo, $$P(u_t=2)P(u_{t+1}=2)=1/4\cdot 1/4=1/16,$$ y por lo tanto $$P(u_t=2,u_{t+1}=2)\neq P(u_t=2)P(u_{t+1}=2).$$

A partir de aquí, he intentado construir un conjunto de información $I_t$ tal que $E_tu_{t+1}\neq 0$ pero sin éxito. También he intentado cambiar de alguna manera la definición de $v_t$ o $u_t$ . Tal vez funcionaría si $u_t$ era un producto de dos procesos estocásticos distintos.

Answer 1

Considere el proceso i.i.d. $\{x_t\}$ donde $P(x_t=0)=P(x_t=2)=1/2$ para cada número entero $t$ . Esta secuencia satisface $E(x_t)=1$ para cada número entero $t$ . Ahora, construye el proceso $\{u_t\}=\{x_t^2(1-x_{t-1})\}$ . Para cada número entero $t$ entonces, tenemos \begin{align}E(u_t)&=E(x^2_t(1-x_{t-1}))\\ &=E(x_t^2)(1-E(x_{t-1}))\\ &=E(x_t^2)(1-1)\\ &=0\end{align} donde la segunda desigualdad se deriva de la independencia y de la linealidad de la expectativa.

Además, \begin{align}Eu_t^2&=Ex_t^4E(1-x_{t-1})^2\\ &=2^4/2\cdot [1^2/2+(-1)^2/2]\\ &=8,\end{align} que es finito e independiente de $t$ . Para $k\neq - 1$ también tenemos \begin{align}Eu_tu_{t+k}&=E(x_t^2(1-x_{t-1})x_{t+k}^2(1-x_{t+k-1}))\\ &=E(1-x_{t-1})E(x_t^2x_{t+k}^2(1-x_{t+k-1}))\\ &= 0\cdot E(x_t^2x_{t+k}^2(1-x_{t+k-1}))\\ &=0, \end{align} y si $k=-1$ podemos hacer lo siguiente: \begin{align}Eu_tu_{t-1}&=E(x_t^2(1-x_{t-1})x_{t-1}^2(1-x_{t-2}))\\ &=E(1-x_{t-2})E(x_t^2(1-x_{t-1})x_{t-1}^2)\\ &= 0\cdot E(x_t^2(1-x_{t-1})x_{t-1}^2)\\ &=0. \end{align}

En otras palabras, $\{u_t\}$ es un proceso de ruido blanco.

Para demostrar que $E_tu_{t+1}\neq 0$ , considere el conjunto de información $I_t$ hasta el período de tiempo $t$ que dice que $u_t=0$ . Entonces $x_t^2(1-x_{t-1})=0$ . Por construcción, esto sólo puede ser el caso si $x_t=0$ . Por lo tanto, $u_{t+1}=x_{t+1}^2(1-0)=x_{t+1}^2$ si $u_t=0$ se da. (Nótese que esto sugiere que $u_{t+1}$ depende de la información en períodos de tiempo $k\leq t$ .) Por lo tanto, como el conjunto de información $I_t$ no dice nada sobre el valor de $x_{t+1}$ La distribución de $u_{t+1}|I_t$ es equivalente a la distribución de $x_{t+1}^2$ . Así, \begin{align}E_tu_{t+1} &=Ex_{t+1}^2\\ &=0^2/2+2^2/2\\ &=2\\ &\neq 0.\end{align}

Así, hemos encontrado un proceso de ruido blanco que no satisface $E_tu_{t+1}= 0$ !