Que serie de Fourier fórmula es correcta

Question

Estoy introducción en serie de Fourier pero estoy confundido sobre las fórmulas involucradas.

Mis profesores de notas, incluyendo Wikipedia estado que, para el intervalo de $(-\pi \le x \le \pi)$

$$a_0 = \frac1\pi \int \cdots $$

mientras que los vídeos en Youtube y otros tutoriales que he encontrado parece que se está usando:

$$a_0 = \frac1{2\pi} \int \cdots $$

Que uno se supone que tengo que usar?

Answer 1

El trigonométricas serie de Fourier de una función $f(x)$ definida en el intervalo $-\pi \leq x\leq \pi $ es $$ f(x)=C+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sen nx\right) \etiqueta{1} $$ donde la constante $C$ y los coeficientes de $a_n$ $b_n$ están dados por las siguientes integrales: $$ \begin{eqnarray*} a_{n} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\,dx,\qquad n=1,2,3,\ldots \\ b_{n} &=&\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\,dx,\qquad n=1,2,3,\ldots \\ C &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\, dx. \end{eqnarray*}\etiqueta{2} $$ La constante $C$ es el valor medio de la función de $f(x)$ sobre la intervalo. Si ampliamos el $a_{n}$ fórmula a $n=0$, obtenemos $$ a_{0}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\,dx=2C\Leftrightarrow C=\frac{ a_{0}}{2}.\la etiqueta{3} $$ Con esta definición de $a_0$ hemos $$ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\pecado nx\right)\etiqueta{4} $$ Por otro lado, si se había definido $$ a_{0}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\,dx\etiqueta{3'} $$ entonces la expansión de $f(x)$ en una Serie de Fourier sería $$ f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sen nx\right)\etiqueta{4'} $$

Referencias: La definición de $(3)$ es utilizado en Angus Taylor Cálculo Avanzado y Tom Apostol del Análisis Matemático.

Answer 2

Series de Fourier de funciones en $[-\pi,\pi]$ o, de manera equivalente, $[0,2\pi]$, puede ser $f(x)=a_0+\sum_{n=1,2,\ldots} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ o de la forma compleja $f(x)=\sum_{n\in {\bf Z}} c_n\,e^{inx}$. De cualquier manera, entre otras propiedades, la integral de $f$ contra algo más en $[0,2\pi]$ debe ser igual a la integral de la serie de Fourier en contra de que una misma cosa, y este dispositivo determina todos los coeficientes de Fourier, mediante la integración de la contra (y constantes) senos y cosenos o exponenciales. La integración en contra de la constante de la función $1$ escogerá $a_0$, puesto que las constantes de integrar a $0$ contra los no-trivial de senos y cosenos o exponenciales: $\int_0^{2\pi} f(x)\,1\,dx=\int_0^{2\pi} a_o\,1\,dx=2\pi\cdot a_o$. Por lo tanto, $a_o={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,dx$.

El $2$s y $\pi$s y otras constantes obtener con frecuencia fuera de lugar en los debates de la serie de Fourier, por lo que la vigilancia eterna es necesario. Doble comprobación de arriba no es difícil, por suerte.

Answer 3

Cuando la serie de Fourier de la representación de una función periódica en $[-\pi,\pi]$ es dado como $$ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx) $$ entonces, para $n>0$, $$ \begin{align} a_0&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x\\ a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x \end{align} $$ Tal vez la confusión entre las formas de $a_0$ $a_n$ al $n>0$.