$R$ dominio integral implica$R[x]$ dominio integral

Question

$R$ integral de dominio implica $R[x]$ integral de dominio.

MI intento:

Tome $f = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n, g = b_0 + \cdots + b_mx^m \in R[x] $. Supongamos $f(x) \neq 0 $ $a_n \neq 0 $ e decir $fg = 0 $. Mostramos $g = 0$. Aviso después de multiplyinf $f$ $g$ principal exponente es $m + n$ por lo tanto $\deg f + g = m + n $. Tenemos

$$ fg = (a_0 + a_1x +\cdots + a_nx^n)( b_0 + \cdots + b_mx^m ) = 0.$$

SI nos fijamos en plazo$a_nb_m x^{m+n} $$fg$, entonces tenemos que tener en $a_nb_m = 0 $. Pero sabemos $a_n \neq 0$, por lo tanto $b_m = 0 $ desde $R$ es la integral de dominio. Puede repetir este proceso $m$ veces hasta la obtención de $g = 0$ que manifiesta, de hecho, $R[x]$ es la integral de dominio.

Es esto correcto?

Answer 1

Su idea es correcta, pero la manera de formular es bastante torpe. Asumiendo $a_n\neq0$ implica $f\neq0$, por lo que a decir es un poco extraño. Mejor es decir: supongamos $f$ $g$ distinto de cero, entonces usted puede tomar $n=\deg f$$m=\deg g$, y esto garantiza (por la definición de grado) que $a_n\neq0$$b_n\neq0$.

No estoy seguro de a qué te refieres con $\deg f+g=m+n$; ¿ vas a decir $\deg f+\deg g=m+n$? A pesar de que es cierto si se supone que el $n=\deg f$ $m=\deg g$ como hice anteriormente, no es en sí mismo una observación muy útil. Lo que usted necesita es que el $x^{m+n}$ es la principal potencia del $x$$fg$, pero para eso se necesita argumentar acerca de su coeficiente de primera. Así que en lugar de lo que usted escribió, decir que el coeficiente de $x^{m+n}$$a_nb_m$, lo cual es distinto de cero en una integral de dominio, y esto nos lleva de inmediato a la conclusión de $fg\neq0$. Final de la prueba, sin necesidad de bucle en los términos de$~g$.

Si quieres un poco más de formación en este, trata de demostrar que si $R$ es una parte integral de dominio de entonces, el poder formal de la serie ring $R[[x]]$ (que se define como $R[x]$, pero sin necesidad de un límite para el grado de los términos) es una parte integral de dominio así. En este caso no hay un término distinto de cero de energía de la serie, pero todavía se puede imitar a la prueba, pero buscando el menor grado de plazo en un producto de un valor distinto de cero de poder formal de la serie.