Deje que $x$ , $y$ y $z$ ser números naturales que satisfagan $x^2 + y^2 + 1 = xyz$ . Demuestra que $z = 3$ .

Question

Deje que $x$ , $y$ y $z$ ser números naturales que satisfagan $x^2 + y^2 + 1 = xyz$ . Demuestra que $z = 3$ .

Me las he arreglado para mostrar que $z$ es un múltiplo de $3$ mirando el módulo $3$ pero no estoy seguro de cómo mostrar $z=3$ . ¿Algún consejo?

Answer 1

Se podría hacer de la siguiente manera: Si $x = y$ entonces la ecuación se convierte en

\begin{align*} 2x^2 + 1 &= x^2 z \end{align*} donde el lado izquierdo es congruente con $1$ (mod $x$ ) y el lado derecho es congruente con $0$ . Se deduce inmediatamente que $x = 1$ y, en consecuencia, que $z = 3$ .

Ahora, supongamos que $y > x$ (sin pérdida de generalidad). Entonces podemos escribir $y = x+k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}_+$ . Sustituyendo esto en la ecuación, vemos que

\begin{align*} x^2 + x^2 + 2kx + k^2 &= x(x+k)z \\ &\equiv 0 \end{align*} (mod $x$ ). En consecuencia,

\begin{align*} x \mid k^2 = (y-x)^2 = y^2 - 2yx + x^2 \equiv y^2 \end{align*} (mod $x$ ).

Por lo tanto, hay algo natural $b$ para que $y^2 = bx$ . Utilizando esto, encontramos que

\begin{align*} x^2 + bx + 1 = xyz. \end{align*} El lado derecho $xyz$ es divisible por $x$ pero también $xyz - 1$ es divisible por $x$ ya que es igual a $x^2 + bx$ . Por lo tanto, debemos tener $x = 1$ . Ahora la ecuación original se convierte en

\begin{align*} y^2 + 2 &= yz\\ &\Updownarrow \\ y^2 - yz + 2 &= 0. \end{align*} Esta ecuación cuadrática en $y$ debe tener un discriminante cuadrado ya que $y$ se supone que es un número natural. Por lo tanto, \begin{align*} D &= (-z)^2 - 4\cdot 1 \cdot 2 \\ &= z^2 - 8 \end{align*} es un cuadrado. Esto sólo se consigue para $z = 3$ :

\begin{align*} z^2 - 8 &= r^2 \\ &\Updownarrow \\ (z-r)(z+r) &= 8 \\ &\Downarrow \\ z-r &\in \lbrace 1, 2\rbrace, \\ z+r &\in \lbrace 4, 8 \rbrace. \end{align*} La única posibilidad aquí es que $z = 3$ y $r = 1$ .

Así, en cualquier caso, $z = 3$ .

Answer 2

También podemos utilizar directamente las fórmulas de Vietas para realizar este problema. Suponiendo una solución mínima, entonces se crea una más pequeña si y>x por lo tanto y=x es la única posibilidad.