Necesidad de una suposición en el Teorema de Going-down

Question

En el Teorema de Going-down (Teorema 5.16 p. 64) en Introducción al álgebra conmutativa de Atiyah y MacDonald, tenemos una inclusión integral $A\subset B$ de los dominios, $A$ siendo integralmente cerrado. La suposición de que $B$ es un dominio se utiliza en la prueba, y sospecho que esta suposición es necesaria, pero no he sido capaz de demostrarlo.

Esta es una forma de plantear la cuestión:

Dejemos que $A\subset B$ sea una inclusión integral de (conmutativa) anillos , $A$ siendo un dominio integralmente cerrado. Sea $\mathfrak m$ sea un ideal máximo de $B$ , dejemos que $\mathfrak p$ sea la contracción de $\mathfrak m$ en $A$ y que $\mathfrak p'$ sea un ideal primo de $A$ contenida en $\mathfrak p$ : $$ \begin{matrix} B&\supset&\mathfrak m\\ |&&|\\ A&\supset&\mathfrak p&\supset&\mathfrak p' \end{matrix} $$

Es $\mathfrak p'$ la contracción de una prima contenida en $\mathfrak m$ ?

Mi sospecha es que la respuesta es "no necesariamente".

Tal respuesta mostraría la necesidad de la suposición de que $B$ es un dominio.

[El símbolo $\subset$ se utiliza como en Bourbaki, es decir $X\subset X$ para todo el conjunto $X$ .]

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo que muestra que no se puede abandonar completamente la suposición de $B$ siendo un dominio integral.

Dejemos que $k$ sea un campo, y consideremos los anillos conmutativos $\tilde{A}=k[x_1,x_2]$ y $B=k[x_1]\times k[x_1,x_2]$ , donde $A\subseteq B$ es la imagen de $\tilde{A}$ bajo la inyección $f(x_1,x_2)\mapsto(f(x_1,0),f(x_1,x_2))$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $B$ no es un dominio integral ya que $(x_1,0)\cdot(0,x_1)=0.$ Consideremos ahora un elemento arbitrario $(f(x_1),0)\in B$ y nota que $$ (f(x_1),0)^2-(f(x_1),f(x_1))\cdot(f(x_1),0)=0,\qquad(f(x_1),f(x_1))\in A. $$ Así que $(f(x_1),0)$ es integral sobre $A$ . Del mismo modo, para $(0,f(x_1,x_2))\in B$ vemos que $$ (0,f(x_1,x_2))^2 - (f(x_1,0),f(x_1,x_2))\cdot(0,f(x_1,x_2))=0,\qquad(f(x_1,0),f(x_1,x_2))\in A. $$ Así que $(0,f(x_1,x_2))$ es integral sobre $A$ . Dado que el conjunto de elementos que son integrales sobre $A$ forman un subring de $B$ y como los elementos de estas dos formas generan $B$ vemos que $B$ es integral sobre $B$ .

Por último, demostramos que el teorema de la caída no se cumple en este caso. Consideremos el ideal primo $\mathfrak{p}_1=((0,x_2))\subseteq A$ . Tenga en cuenta que $\mathfrak{q}_1=(0)\times k[x_1,x_2]$ es un ideal primo en $B$ tal que $\mathfrak{q}_1\cap A=\mathfrak{p}_1$ . Sea $\mathfrak{p}_2=((0,0))\subseteq A$ . Afirmamos que no hay ningún ideal primo $\mathfrak{q}_2\subseteq\mathfrak{q}_1$ tal que $\mathfrak{q}_2\cap A=\mathfrak{p}_2$ . Esto está claro ya que los ideales primos de $B$ son de la forma $\mathfrak{p}\times k[x_1,x_2]$ y $k[x_1]\times\mathfrak{q}$ donde $\mathfrak{p}$ es un ideal primo de $k[x_1]$ y $\mathfrak{q}$ es un ideal primo de $k[x_1,x_2]$ .