Olimpiada Nacional de Macedonia 2010

Question

Problema

El punto O es el centro del círculo circunscrito de el ángulo agudo del triángulo ABC. La línea AO corta el lado BC en el punto N, y la línea BO corta el lado AC en el punto M. Probar que si CM = CN, entonces AC = BC.

Intento

Deje que AB = $c$, CA = $b$, BC = $a$

$\frac{NB}{NC} = \frac{S_{ANB}}{S_{ANC}}=\frac{c\space sin\angle{BAN}}{b\space sin\angle{CAN}} = \frac{c\space sin\space(\frac{\pi}{2}-\angle{BPN})}{b\space sin(\frac{\pi}{2}-\angle{CPN})} = \frac{c\space cos\angle BPA}{b\space cos\angle CPA} = \frac{c\space cos\angle C}{b\space cos\angle B}$

$\frac{a}{NC} = \frac{BC}{NC} = \frac{BN + NC}{NC} = \frac{c\space cos\angle C + b\space cos\angle B}{b\space cos\angle B}$

Del mismo modo,

$\frac{b}{MC} = \frac{c\space cos\angle C + a\space cos\angle A}{a\space cos\angle A}$

Debido a $CM = CN$, por lo que

$\frac{c\space cos\angle C + a\space cos\angle A}{ab\space cos\angle A} = \frac{c\space cos\angle C + b\space cos\angle B}{ab\space cos\angle B}$ o $\frac{c\space cos\angle C + a\space cos\angle A}{cos\angle A} = \frac{c\space cos\angle C + b\space cos\angle B}{cos\angle B}$

Sin embargo, no soy capaz de seguir adelante a partir de aquí, tengo que admitir que mi habilidad para manipular ecuaciones trigonométricas es relativamente débil.

Answer 1

Primero dibuja una línea que pase a través de$C$$O$, y dejar que la línea interseca la circunferencia circunscrita a $D$ y el lado de la $\overline{AB}$$E$.

Ahora vamos a probar que por contradicción. Vamos a $CM = CN$ y WLOG deje $AC > BC$. Es obvio que $\angle ABC > \angle BAC$. Esto es equivalente a $\angle ADC > \angle BDC$ como los ángulos anteriores mismo arco.

Desde el Thales Teorema tenemos que los ángulos inscritos $\angle DAC = \angle DBC = 90 ^{\circ}$, y, obviamente, tenemos:

$$\angle ACE < \angle BCE \iff \angle AOE < \angle BOE$$

como central de ángulos.

Ahora porque el $\triangle ABO$ es, obviamente, isoscelec tenemos que $AE < BE$

Ahora, desde el Teorema de Ceva, tenemos:

$$\frac{AM}{MC} \times \frac{CN}{NB} \times \frac{BE}{EA} = 1$$

Porque asumimos $$CN=CM$$, tenemos:

$$\frac{AM}{NB} = \frac{EA}{BE} < 1 \implies AM < NB$$

Y por último tenemos:

$$AC = AM + CM = AM + CN < BN + CN = BC$$

Pero esto es contradictorio con salida de asunción. Por lo tanto la prueba.