Comprender las equivalencias isomórficas del producto tensorial

Question

Tengo una idea general del tensor y del producto tensorial leyendo sus artículos en la Wikipedia, y varias preguntas y respuestas publicadas antes por otros. Pero no puedo averiguar cómo mostrar las siguientes equivalencias isomórficas:

1. de Zach Conn :

   Para espacios de dimensión finita V,W, el producto tensorial $V^* \otimes W$ es isomorfo al espacio de homomorfismos $\textrm{Hom}(V, W)$ . Así que en otras palabras todo mapa lineal $V \to W$ tiene una expansión tensorial, es decir, una representación como un tensor en $V^* \otimes W$ .

   Me pregunto por qué "el producto tensorial $V^* \otimes W$ es isomorfo al espacio de homomorfismos $\textrm{Hom}(V,W)$ "?

2. de Hans Lundmark :

   un mapa bilineal $B:V \times U \to \mathbb{R}$ puede identificarse canónicamente con un elemento del espacio $V^* \otimes U^*$ .

   Cómo es un mapa bilineal $B:V \times U \to \mathbb{R}$ identificado canónicamente con un elemento del espacio $V^* \otimes U^*$ ?

3. de Qiaochu Yuan :

   • Una transformación lineal $V \to V$ ,
   • Un elemento de $V^* \otimes V$ ,
   • Un mapa lineal $V \otimes V^* \to \mathbb{R} $ .

   La identificación (de la primera) con la segunda imagen viene del hecho de que dual distribuye sobre el producto tensorial (que de nuevo se reduce a tensor tensorial) y el hecho de que $V^{**} \cong V$ . Alternativamente, de nuevo por tensor existe un mapa bilineal natural $V \times (V^* \otimes V) \to V$ que identifica un elemento de $V^* \otimes V$ con una transformación lineal $V \to V$ .

   ¿Cómo se distribuye ese dual sobre el producto tensorial viene de la contracción tensorial, y cómo lleva esto a la identificación?

   Cómo es el mapa bilineal natural $V \times (V^* \otimes V) \to V$ ¿se define?

Gracias y saludos.

Answer 1

A continuación intentaré esbozar algunos de estos mapas.

1. $\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$ Intentemos definir un mapa lineal $\Phi\colon V^* \otimes W \to \Hom(V, W)$ . Sabemos que esto es lo mismo que dar una bilineal $V^* \times W \to \Hom(V, W)$ . Ahora, dada una función $f\colon V \to \mathbf{R}$ y un elemento $w \in W$ puedo producir un mapa lineal $V \to W$ que envía $x \mapsto f(x)w$ .

   Para ver que esto es sobreyectivo [lo cual es suficiente, ya que las dimensiones coinciden], escoge una base $\{v_i\}$ de $V$ y una base $\{w_i\}$ de $W$ . Sea $\{v_i^*\}$ sea la base dual de $\{v_i\}$ . Entonces $$\Phi(v_i^* \otimes w_j)(v_k) = \delta_{ik}w_j.$$ Así que esto envía $v_i$ a $w_j$ y envía todos los demás $v_j$ , $j \neq i$ a cero. Estos mapas ciertamente abarcan $\Hom(V, W)$ .

2. Queremos un mapa bilineal $V^* \times U^* \to \operatorname{Bilin}(V, U)$ . Si $f\colon V \to \mathbf{R}$ y $g\colon U \to \mathbf {R}$ son funcionales, no hay nada más bilineal que la multiplicación: defina $V \times U \to \mathbf{R}$ por $(x, y) \mapsto f(x)g(y)$ .

3. No me queda claro qué quiso decir Qiaochu aquí, así que debo estar perdiéndome algo. En realidad, esto se deduce de (2), ya que esa parte mostrará que dar un elemento de $V^* \otimes U^*$ es lo mismo que dar una bilineal $V \times U \to \mathbf{R}$ y eso es lo mismo que un elemento de $(V \otimes U)^*$ .

Answer 2

Observaré que hay una propiedad universal ligeramente diferente que satisface el producto tensorial: para tres espacios vectoriales cualesquiera $U, V, W$ sobre un campo común $k$ hay un isomorfismo $$\textrm{Hom}(U \otimes V, W) \cong \textrm{Hom}(U, \textrm{Hom}(V, W))$$ que además es natural en $U$ (contravariante), $W$ (covariante) y $V$ (extraordinariamente). Tomando $W = k$ produce la propiedad universal habitual en términos de mapas bilineales. (Un mapa bilineal $U \times V \to k$ después de todo, es esencialmente lo mismo que un mapa lineal $U \to \textrm{Hom}(V, k)$ .)

Lo anterior propiedad adyacente da una respuesta alternativa sin sentido abstracto para la primera pregunta, si tomamos el isomorfismo $(U \otimes V)^* \cong U^* \otimes V^*$ por supuesto. Recordemos que todo espacio vectorial de dimensión finita es naturalmente isomorfo a su doble dual. Por lo tanto, si $U$ y $V$ son de dimensión finita $k$ -espacios vectoriales, $$U^* \otimes V \cong \textrm{Hom}((U^* \otimes V)^*, k) \cong \textrm{Hom}(U^{**} \otimes V^*, k) \cong \textrm{Hom}(U^{**}, V^{**}) \cong \textrm{Hom}(U, V)$$ Obviamente, esta prueba no funciona cuando $U$ o $V$ son de dimensión infinita. (De hecho, la afirmación ni siquiera es cierta .)

La respuesta de Dylan aborda adecuadamente la segunda pregunta, así que me la saltaré.

En cuanto a la tercera pregunta, yo tampoco estoy seguro de lo que quiso decir Qiaochu. Para mí, la contracción tensorial es el mapa lineal $U^* \otimes U \to k$ que se obtiene a partir del mapa bilineal $U^* \times U \to k$ dado por $(\alpha, v) \mapsto \alpha (v)$ . Si piensas en $U^* \otimes U$ como un espacio de matrices, esto es sólo el mapa de trazas.

El mapa bilineal natural $\epsilon : V \times (V^* \otimes V) \to V$ Qiaochu está aludiendo al mapa dado por $(v, \alpha \otimes v') \mapsto \alpha(v) v'$ . En otras palabras, es el resultado de evaluar un elemento de $V^* \otimes V$ , considerado como un mapa lineal $V \to V$ , en $v$ . (Pero hay otro mapa bilineal natural, es decir, el dado por $(v, \alpha \otimes v') \mapsto \alpha(v') v$ . Estoy bastante seguro de que no es éste al que se refería). Otra forma de conseguir $\epsilon$ es considerando lo que ocurre con el mapa $V^* \otimes V \to \textrm{Hom}(V, V)$ de la primera pregunta bajo el isomorfismo $$\textrm{Hom}((V^* \otimes V) \otimes V, V) \cong \textrm{Hom}(V^* \otimes V, \textrm{Hom}(V, V))$$

En cuanto a la conexión con la contracción tensorial: observe que existe un isomorfismo natural $V \otimes (V^* \otimes V) \cong (V \otimes V^*) \otimes V$ y un isomorfismo natural $V \otimes V^* \cong V^* \otimes V$ el mapa $\epsilon$ es esencialmente la composición del mapa de trazas con estos isomorfismos.