Se puede descomponer la región donde $f \geq 0$ como una unión finita de regiones (con interiores disjuntos) tal que cada región es la intersección de un número finito de conjuntos, cada conjunto definido por una desigualdad $p(x_1, \dots, x_n) \geq 0$ . Un número finito de polinomios es suficiente para describir el lugar donde $f \geq 0$ pero podría ser necesario más de un polinomio.
Esto es una consecuencia del teorema de Tarski sobre la eliminación de cuantificadores para campos reales cerrados.
En los comentarios se pedía resolver el ejemplo $f(x,y,z) = \sqrt{x} + \sqrt{y} - z \geq 0$ .
El dominio se divide en cuatro regiones en función del signo de $x$ y $y$ . En tres de las regiones $x$ o $y$ es negativo y $f$ no está definido. La región donde $f$ es la intersección de $x \geq 0$ y $y \geq 0$ y puede dividirse en dos partes, una con $z \leq 0$ y el segundo con $z \geq 0$ . En la primera pieza $f \geq 0$ en todas partes. En la segunda pieza, $f \geq 0$ es equivalente a $z^2 \leq x + y + 2 \sqrt{xy}$ y se puede subdividir de nuevo según el signo de $q(x,y,z) = z^2 - x - y$ . En $q \leq 0$ entonces $f \geq 0$ . En $q \geq 0$ la condición es $4xy - q^2 \geq 0$ .
La condición de que $f$ está definido y es no negativo siempre se puede expresar como un árbol de decisión en el que cada decisión es una prueba del signo de un polinomio.
