Si$p\mid|G|$, ¿cuántos elementos del pedido$p$ hay en$G$?

Question

Deje$G$ ser un grupo finito y$p$ ser un primo tal que$p\mid|G|$, luego obviamente$G$ tiene un elemento de orden$p$ (según el teorema de Cauchy); Me gustaría saber exactamente cuántos elementos del orden$p$ hay en el grupo? Por favor ayuda

Answer 1

Si$N_p$ es la cantidad de subgrupos de orden$p$ en$G$, ya que dos de ellos se cruzan trivialmente, el número total$M(p)$ de elementos de orden$p$ es $$ M (p) = (p-1) N_p. $$ Cuando$p$ divide exactamente el orden de$G$, es decir,$|G|=pt$ con$(p,t)=1$, se puede obtener el número$N_p$ aplicando los teoremas de Sylow.

Si una potencia mayor de$p$ divide$|G|$, la situación es más compleja, ya que uno necesita determinar cómo se intersectan el$p$ - Sylows.

Answer 2

Algo más puede decirse. Mantengámonos en la notación de Andrea Mori: deje que$M(p)$ denote la cantidad de elementos del orden$p$ de$G$, luego$$M(p) \equiv -1 \text { mod } p.$ $ Esto se desprende fácilmente de la teoría de Sylow o del prueba de James McKay del Teorema de Cauchy sobre la existencia de elementos de orden$p$, si$p$ divide$|G|$.