Subgrupo conmutador y subgrupo normal cíclico

Question

Dado un grupo finito $G$ su subgrupo conmutador $H$ de $G$ y un subgrupo normal cíclico $N$ de $G$ Estoy tratando de mostrar que $hn = nh$ para todos $n \in N$ y $h\in H$ .

Esto significa básicamente que cada conmutador fija cualquier $n$ . Hasta ahora parece que apenas he progresado; en todo caso, tengo la sensación de que estoy desordenando las cosas. Pero voy a escribirlas de todos modos.

Lo primero que pensé fue que como $hnh^{-1} \in N$ , $hnh^{-1} = n^r$ para algunos $r$ y podemos mostrar $r$ debe ser 1, pero esto no llegó a ninguna parte.

Mi segundo enfoque fue escribir, sin perder la generalidad, $h=aba^{-1}b^{-1}$ . Entonces el resultado es $a^{-1}b^{-1}nba = b^{-1}a^{-1}nab$ para dos elementos cualesquiera $a$ , $b$ de $G$ . Siento que esto debería ser trivial de alguna manera o adicionalmente complicado.

Además, me cuesta entender cómo entra en juego aquí la normalidad cíclica de N.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Este es un buen ejercicio... Consejos

1) $\,\operatorname{Aut}(N)\,$ es abeliano

2) Todo automorfismo interno de $\,G\,$ es, cuando se restringe a $\,N\,$ es un elemento de $\,\operatorname{Aut}(N)\,$

3) $\,\forall x,y\in G\,\,,\,[x,y]^{-1}=[y,x]\,$

Intenta ahora hacer algo con esto y, si después de pensarlo un rato sigues atascado, escribe abajo como comentario.

Añadido a petición: Como se ha señalado, $\,\operatorname{Aut}(N)\,$ es abeliano y si $\,\phi_g\,$ denota el automorfismo interno determinado por $\,g\,$ entonces $\,\forall\,g\in G\,\,\,,\,\,\text{then}\;\; \left.\phi_g\right|_N\,\in\operatorname{Aut}(N)$ . Demostramos ahora que cualquier conmutador básico $\,[x,y]\in H\,$ centraliza cualquier elemento $\,n\in N\,$ :

$$[x,y]n[x,y]^{-1}=[x,y]n[y,x]=x^{-1}y^{-1}xyny^{-1}x^{-1}yx=\left(\phi_{x^{-1}}\phi_{y^{-1}}\phi_x\phi_y\right)(n)=$$

$$\stackrel{\text{Aut}(N)\,\,\text{is abelian!}}=\left(\phi_{x^{-1}}\phi_x\phi_{y^{-1}}\phi_y\right)(n)=Id_N\circ Id_N(n)=n$$

y como lo anterior es cierto para cualquier generador de $\,H=G'=[G,G]\,$ entonces es cierto para todo el grupo.

Segunda solución: Tal vez sea más fácil: para cualquier subgrupo $\,K\leq G\,$ el mapa $$f:N_G(K)\to\operatorname{Aut}(K)\,\,,\,\,f(k):=\phi_k=\,\text{conjugation by}\,\,k$$

es un homomorfismo de grupo (con $\,\phi_k(x):=kxk^{-1}\,$ ), cuyo núcleo es precisamente $\,C_G(K)\,$ y desde aquí

$$N_G(K)/C_G(K)\cong T\leq\operatorname{Aut}(K)$$

En nuestro caso, tenemos $\,N\triangleleft G\Longleftrightarrow N_G(N)=G\,$ , por lo que obtenemos $\,G/C_G(N)\cong T\leq\operatorname{Aut}(N)\,$ .

Pero $\,\operatorname{Aut}(N)\,$ es abeliano, por lo que

$$G/C_G(N)\,\,\,\text{is abelian}\,\,\Longleftrightarrow G'\leq C_G(N)\;\;\;\;\;\;\square$$

Answer 2

Desde $N$ es normal, "la conjugación por $g$ "da un homomorfismo de grupo $\phi$ de $G$ a $Aut(N)$ el grupo de automorfismos de $N$ . Desde $N$ es cíclico, este grupo de automorfismos es abeliano. Pero se sabe que el subgrupo conmutador es el subgrupo "universal" que cotiza $G$ en algo abeliano. Es decir, si hay algún homomorfismo de grupo desde $G$ a un grupo abeliano $A$ siempre es un factor a través del grupo $G/H$ . Ahora te pregunto, ¿cuál es el núcleo de $\phi$ ?