Dualidad de piedra localmente compacta: ¿Se puede recuperar un espacio booleano de su álgebra booleana de conjuntos de solapa?

Question

Durante mi comienzo de Doctorado de investigación me he encontrado con la siguiente pregunta problema:

• Deje $X$ ser un booleano espacio. Es posible reconstruir el espacio de $X$ de su álgebra de boole de clopen conjuntos, $Cl(X)$ (considerado como un álgebra de boole)?

Por un booleano espacio me refiero a una (no vacío) de cero dimensiones localmente compacto Hausdorff espacio, o lo que es equivalente, un espacio de Hausdorff con una base que consta de compactos bloques abiertos. El particular espacios estoy estudiando segundo contables y no tiene puntos aislados como bien -- en caso de que esto hace una diferencia.

El conjunto de clopen subconjuntos de $X$, $Cl(X)$, forma un álgebra booleana bajo el conjunto habitual de operaciones de unión, intersección y complemento. Generalmente no es una completa álgebra booleana.

En el caso de que $X$ es, de hecho, compacto (es decir, una Piedra espacio) la respuesta es por supuesto que sí, siendo esta la clásica Piedra de la dualidad. En el localmente compacto caso, sin embargo, me parece que la respuesta en general, no es, basado en las referencias de abajo, ya que estos parecen requerir el álgebra booleana de compacto abrir conjuntos de lugar. Y no es posible para "detectar" la compacidad de un elemento $A \in Cl(X)$, como uno sólo ha finito de los sindicatos, se une en esta álgebra booleana.

1. Dimov – Algunas Generalizaciones de la Piedra Teorema de la dualidad (http://rmi.tsu.ge/tolo2/presentations/Dimov.pdf)
2. Médico – Las Categorías de Boolean Celosías, Boolean Anillos Booleanos Espacios (https://cms.math.ca/openaccess/cmb/v7/cmb1964v07.0245-0252.pdf)

Answer 1

No en general: dos no isomorfos booleano espacios pueden tener isomorfo álgebras de clopen conjuntos. De hecho, vamos a $X$ ser booleana espacio que no es compacto, y deje $B=Cl(X)$. Luego la Piedra espacio de $Y$ $B$ es un valor booleano espacio con $Cl(Y)\cong Cl(X)$, pero $Y$ no es homeomórficos a $X$ desde $Y$ es compacto y $X$ no lo es.

Sin embargo, si se limita a la segunda contable de los espacios, a continuación, $X$ puede ser reconstruido a partir de $Cl(X)$. De hecho, el pacto abrir los juegos pueden ser identificados como aquellos elementos $b\in Cl(X)$ tal que $\{c\in Cl(X):c\leq b\}$ es contable. A partir de allí, el local una versión compacta de Piedra de la dualidad puede ser utilizado para reconstruir $X$.

Para probar esta caracterización de la compacta abierta de conjuntos, tenga en cuenta que $\{c\in Cl(X):c\leq b\}$ es sólo el clopen álgebra $Cl(b)$, teniendo en cuenta $b$ como un subespacio de $X$. Así que sustituyen a $X$$b$, es suficiente para mostrar que si $X$ es una segunda contables booleano espacio, a continuación, $X$ es compacto iff $Cl(X)$ es contable. Para probar esto, elegir una contables base $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $X$ compacto que consta de bloques abiertos. Si $X$ es compacto, cada clopen conjunto es finito, de la unión de la base de elementos (por compacidad), y por lo $Cl(X)$ es contable. Si $X$ no es compacto, entonces para cada $k\in\mathbb{N}$, $C_k=\bigcup_{n<k}B_n$ es compacto y por lo tanto un subconjunto de a $X$. Por inducción, podemos elegir una secuencia de disjuntos no vacíos compacto abrir subconjuntos $D_k\subset X\setminus C_k$ por cada $k$. A continuación, para cada $A\subseteq\mathbb{N}$, $\bigcup_{k\in A} D_k$ es clopen, dando una cantidad no numerable de elementos distintos de a $Cl(X)$. (La suposición de que $D_k\subset X\setminus C_k$ garantiza que $\bigcup_{k\in A}D_k$ es cerrado, desde su intersección con cada uno de los $C_k$ es sólo un número finito de la unión y por lo tanto cerrado, y el $C_k$ es una cubierta abierta de a $X$.)

(Como alternativa, con el adicional de la suposición de que $X$ no tiene puntos aislados, sólo se puede citar la clasificación en Henno Brandsma la respuesta, y usted sólo tendrá que comprobar que el $Cl(C)$ es contable y $Cl(C\setminus\{0\})$ es incontable.)

Answer 2

Si usted sabe que $X$ es localmente compacto (pero no compacto) cero-dimensional Hausdorff y por otra parte segunda-contables y lleno de gente (sin puntos aislados), a continuación, $X$ es homeomórficos a $C \setminus \{0\}$ (el conjunto de Cantor menos un punto; el punto de que no importa). La prueba de la siguiente manera fácilmente a partir de la observación de que el punto de compactification de ese $X$ es homeomórficos a $C$, por su clásica caracterización de $C$ hasta homeomorphism el único lleno de gente compacto metrisable cero-dimensional espacio.

Así que topológicamente hablando, usted sólo está interesado en dos espacios: $C$ (compacto) o $C$ menos de un punto (la no-compacto).