posiblemente ejercicio simple en topología algebraica con respecto al homomorfismo de Bockstein

Question

Lo siento por la poca información título; simplemente no puedo elegir un buen título que explica mi pregunta.

Estoy leyendo Manolescu de conferencias sobre la triangulación de la conjetura. Lo que estoy atascado es el ejercicio 2.4, en la que pide a mostrar: Para un colector $M$ cuya dimensión es $\geq 5$ si $Sq^1(\Delta(M))\neq 0$,$\delta(\Delta(M))\neq 0$.

Ahora debo explicar las notaciones aquí antes de prospectiva solucionadores de problemas se pierden y desaparecen; Aquí, $\Delta(M)\in H^4(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ es algo que se llama el Kirby-Siebenmann clase. Su definición puede no importa; te voy a dar algunas propiedades de esta obstrucción de la clase en un momento. Y $Sq^1$ es obviamente la primera Steenrod operador, que es el mismo que el Bockstein homomorphism $\beta:H^\bullet(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{\bullet+1}(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$. Y $\delta$ es la conexión homomorphism de los siguientes ARCHIVOS:

$\cdots H^4(M;\Theta^\mathbb{Z}_3)\overset{\mu}{\to} H^4(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\overset{\delta}{\to} H^5(M;\mathrm{ker} \mu)\to \cdots$

que se asocia a la SES $0\to \mathrm{ker}\mu \to \Theta^\mathbb{Z}_3\overset{\mu}{\to} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0 $.

No se preocupan por $\mu$ o $\Theta^\mathbb{Z}_3$ si usted no ha oído; supongo que la única parte importante es que el SES anterior no dividir.

Ahora te doy algunas de las propiedades que es (se supone) relevantes para esta pregunta.

$\delta(\Delta(M))=0$ implica $\Delta(M)$ es la imagen de un elemento en $ H^4(M;\Theta^\mathbb{Z}_3)$ bajo $\mu$, es decir, $\Delta(M)=\mu(c)$ algunos $c\in H^4(M;\Theta^\mathbb{Z}_3)$.

(Como se indicó anteriormente, la SES $0\to \mathrm{ker}\mu \to \Theta^\mathbb{Z}_3\overset{\mu}{\to} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0 $ no dividir.

(puede no ser relevante) $\Theta^\mathbb{Z}_3$ es infinitamente generado y tiene un $\mathbb{Z}$-sumando.

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Se agradece cualquier ayuda; estoy seguro de que este debería ser un simple topología algebraica ejercicio, pero de alguna manera se quedó atascado después de pasar unas horas en él.

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier grupo abelian $A$, hay un isomorfismo natural $\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},A)\cong A/2A$. De hecho, esto es sólo lo que se obtiene mediante el cálculo de esta Ext mediante la resolución de $0\to\mathbb{Z}\stackrel{2}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. En particular, vamos a tomar las $A=\ker\mu$ y considerar la clase de $x\in\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},A)\cong A/2A$ que representa la extensión de $$0\to A \to \Theta^\mathbb{Z}_3\overset{\mu}{\to} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0.$$ Since $UN/2A$ is a vector space over $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and $x$ is nonzero (the SES does not split), there is a homomorphism $A/2A\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ which sends $x$ to $1$. Composing this with a quotient map $Un\a A/2A$, we get a homomorphism $f:A\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. This homomorphism has the property that the induced map $\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},A)\to\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ sends $x$ to the nonzero element of $\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, which represents the extension $$0\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0.$$ This implies that there is a homomorphism $g$ rellenando el siguiente diagrama: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} 0 @>>>A@>{}>> \Theta^\mathbb{Z}_3 @>{\mu}>> \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} @>>>0\\ & @V{f}VV @V{g}VV @V{1}VV \\ 0 @>>>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}@>{}>> \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} @>>> \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} @>>>0\\ \end{CD}$$ (Explícitamente, si elegimos un elemento $y\in A$ cuya imagen en $A/2A$$x$, entonces podemos identificar a $\Theta^\mathbb{Z}_3$, con el set de $A\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con el grupo de operación de que se coordinatewise excepto que $(0,1)+(0,1)=(y,0)$. El mapa de $g$, a continuación, envía a$(a,i)\in A\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$2f(a)+i$. Esto funciona porque elegimos $f$, de modo que $f(y)=1$.)

Este mapa de corto exacta secuencias induce a continuación, mapas entre los asociados largo exacto de las secuencias en la cohomology. En particular, la inducida por los mapas en cohomology conmuta con el Bocksteins, por lo que la inducida por el mapa de $f_*:H^5(M;A)\to H^5(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ satisface $f_*(\delta(c))=Sq^1(c)$. Tomando $c=\Delta(M)$ da el resultado deseado.