Los percentiles de$Z=\max(X,Y)$, donde$X$ y$Y$ son variables aleatorias normales bivariadas correlacionadas

Question

Supongamos$X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$,$Y \sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$ y$\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$. Estoy interesado en calcular percentiles de$Z = \max(X,Y)$. Podemos asumir la normalidad bivariada.

Sé cómo encontrar el pdf, la media y la varianza de$Z$, pero tengo problemas para resolver o encontrar una aproximación para los percentiles. ¿Se ha resuelto esto en algún lugar de la literatura?

Answer 1

Se puede calcular este numéricamente. Como para que los resultados teóricos, no tengo una referencia a la literatura, pero aquí hay un cálculo de cómo su problema está relacionado con la normal estándar CDF $\Phi$.

La articulación pdf $$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right]$$ donde $$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$$ Por simplicidad asumiremos $\mu_1=\mu_2=0$, $\sigma_1=\sigma_2=1$: $$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z=x_1^2 - 2\rho x_1x_2 + x_2^2.$$ Ahora tenemos, con $x^2-2\rho xy = (x-\rho y)^2-\rho^2y^2$, que $$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy=$$ $$\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$ $$=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{(x-\rho y)^2}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$$ Deje $W$ ser normal con una media de $\rho y$ y la varianza $1-\rho^2$. Entonces $$\Pr(W\le a)=\Pr\left((W-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\le (a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right)$$ $$=\Phi\left((a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right).$$ Así, obtenemos

$$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a \exp\left(-y^2/2\right)\Phi\left(\frac{a-\rho y}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\,dy.$$

Usted puede ver que si $\rho=0$ es $\Phi(a)^2$, como debe ser.