Integrales elementales sin resolver

Question

Actualmente estoy en Cálculo Integral, y me preguntaba si podría ser un poco creativo con mi práctica. Tenía curiosidad por saber si había algún problema sin resolver, pero bastante sencillo (que se pueda resolver con los métodos que se enseñan en Calc I/II), de modo que pudiera practicar las técnicas de integración que he aprendido y, al mismo tiempo, resolver un problema que aún no se haya resuelto.

He consultado listas de integrales, pero esas tienen una forma más general (las constantes se representan con letras, etc.), y me preguntaba si habría algún sitio donde pudiera encontrar listas de integrales indefinidas que nunca se hubieran calculado pero que no fueran tan difíciles.

Por otra parte, si por casualidad conoce alguna buena fuente de información sobre más técnicas de integración, estoy intentando ampliar mi "caja de herramientas" de métodos de integración.

Gracias a todos, y espero que todos y cada uno de ustedes estén teniendo un buen día.

Answer 1

He aquí una organigrama pertinente porque como dijo Silvanus P Thompson:

"Aquí nota este hecho muy notable, que no podríamos haber integrado en el caso anterior [ $y = a\log_c x + C$ ] si por casualidad no hubiéramos conocido la diferenciación correspondiente. Si nadie hubiera descubierto que diferenciar $\log_c x$ dio $x^{-1}$ habríamos estado totalmente atascados por el problema de cómo integrar $x^{-1} dx$ . De hecho, debe admitirse con franqueza que ésta es una de las características curiosas del cálculo integral: que no se puede integrar nada antes de que el proceso inverso de diferenciar otra cosa haya dado lugar a la expresión que se desea integrar".
Cálculo fácil, p199.

La integración, al ser un proceso inverso, es mucho menos sistemática que la diferenciación.

EDIT Justo después de esa cita, el autor da una integral "no resuelta, pero bastante simple". Puede que no se pueda resolver, pero esa cualidad no se deriva necesariamente de la simplicidad cuando se trata de integración.

Answer 2

Algunos textos que cubren las diversas técnicas de integración a un nivel comparable al de Cálculo I y II (y un poco más allá) incluyen:

1. El texto soviético Problemas de análisis matemático editado por Boris Demidovich tiene muchos problemas para resolver utilizando las diversas técnicas de integración. Algunas de las técnicas que Demidovich presenta no suelen encontrarse en otros lugares.

2. Joseph Edwards Tratado de cálculo integral (Volumen 1) es una fuente particularmente valiosa para muchas integrales interesantes y, al haberse publicado antes de 1923, está fuera de copyright, lo que significa que puede encontrarse fácilmente en línea.

3. Michael Spivak Cálculo contiene muchas cuestiones interesantes que utilizan la integración, como la prueba de que $\pi$ es irracional, por ejemplo.

4. Aunque es un poco antiguo, el libro de G. H. Hardy Curso de matemáticas puras también es una fuente útil para las preguntas, y al haber sido publicado antes de 1923, ya no está sujeto a derechos de autor.

5. El texto reciente Cómo integrarlo: Guía práctica para resolver integrales elementales de Seán M. Stewart tiene capítulos individuales dedicados a una técnica concreta de integración, y cada uno de ellos va acompañado de abundantes ejercicios al final del capítulo.