¿Núcleo del mapa $\bigoplus_{k\geq 0} \Lambda^k \pi: \bigoplus_{k\geq 0} \Lambda^k V\longrightarrow \bigoplus_{l\geq 0} \Lambda^l(V/W)$?

Question

Que $V$ ser un espacio del vector sobre un campo $\mathbb K$ y $U\subseteq V$ un subespacio. Que $$\pi:V\longrightarrow V/U,$$ the cannonical projection. For every $k\geq 0$ this induces a linear map $$\Lambda^k \pi:\Lambda^k V\longrightarrow \Lambda^k (V/U),$$ where $\Lambda^0 \pi=\pi$. This allows use to define a map $$\bigoplus_{k\geq 0}\Lambda^k \pi: \bigoplus_{k\geq 0} \Lambda^k V\longrightarrow \bigoplus_{k\geq 0} \Lambda^k (V/U).$$ This is the only linear make which make the diagram below to commute for every $k$:

donde $\jmath_k$ y $\jmath_k^\prime$ son las inclusiones.

¿Qué es el núcleo del mapa $\displaystyle\bigoplus_{k\geq 0} \Lambda^k \pi$?

Bueno, sé que: $$\mathsf{Ker}(\bigoplus_{k\geq 0} \Lambda^k \pi)=\bigoplus_{k\geq 0} \mathsf{Ker}(\Lambda^k \pi),$$ so the problem boils down to determining $\mathsf{Ker}(\Lambda^k \pi)$.

Gracias.

Answer 1

Deje $T \colon V \rightarrow W$ ser lineal en el mapa que está en. El núcleo de $\Lambda(T) \colon \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(W)$ es el de dos caras homogénea ideal de $\Lambda(V)$ generado por $\ker(T)$. Más explícitamente, el núcleo de $\Lambda^k(T)$ es

$$ U_k = \operatorname{span} \{ v_1 \wedge \dots \wedge v_k \, | \, v_j \in V, \exists i \text{ such that } v_i \in \ker(T) \}. $$

Para ver por qué, tenga en cuenta primero que $U_k \subseteq \ker \Lambda^k(T)$ debido a que en cada una de las $v_1 \wedge \dots \wedge v_k$ $v_i \in \ker(T)$ hemos

$$ \Lambda^k(T)(v_1 \wedge \dots \wedge v_k) = Tv_1 \wedge \dots \wedge Tv_i \wedge \dots Tv_k = Tv_1 \wedge \dots \wedge 0 \wedge \dots Tv_k = 0. $$

Por lo tanto, $\Lambda^k(T)$ induce un mapa de $\Lambda^k(T) / U_k \colon \Lambda^k(V) / U_k \rightarrow \Lambda^k(W)$. Para mostrar que $\ker \Lambda^k(T) = U_k$, es suficiente para demostrar que $\Lambda^k(T) / U_k$ es un isomorfismo.

Vamos a definir un mapa $$S \colon \underbrace{W \times \dots \times W}_{k \text{ times}} \rightarrow \Lambda^k(T) / U_k$$ de la siguiente manera. Dado $(w_1,\dots,w_k)$ podemos optar $v_1, \dots, v_k \in V$ tal que $Tv_i = w_i$ (debido a $T$ a). A continuación, defina $S(w_1,\dots,w_k) = [v_1 \wedge \dots \wedge v_k]$. Para ver que esto está bien definido, tenga en cuenta que si (decir) $Tv_1 = T\hat{v}_1 = w_1$

$$ [v_1 \wedge \dots \wedge v_k] = [(v_1 - \hat{v}_1 + \hat{v}_1) \wedge \dots \wedge v_k] = [(v_1 - \hat{v}_1) \wedge \dots \wedge v_k] + [\hat{v}_1 \wedge \dots \wedge v_k] \\= [\hat{v}_1 \wedge \dots \wedge v_k]$$

debido a $v_1 - \hat{v}_1 \in \ker(T)$ $\hat{v}_1 \wedge \dots \wedge v_k \in U_k$ y de manera similar para el resto de los argumentos. También, es claro que $S$ es alterna por el universal de la propiedad de la potencia exterior que se induce un mapa (todavía denotado por el mismo nombre) $S\colon \Lambda^k(W) \rightarrow \Lambda^k(V) / U_k$ que es la inversa de mapa de $\Lambda^k(T) / U_k$.