Si $f^2$ y $f^3$ $C^{\infty}(\mathbb R)$ son entonces es de $f$ $C^{\infty}(\mathbb R)$

Question

Ya que es un ejercicio de un examen oral, he añadido algunas indicaciones de que yo tenía.

$f : \mathbb R \to \mathbb R$, de tal manera que $f^2$$f^3$$C^{\infty}$, muestran que $f$$C^{\infty}$.

Los dos aislados hipótesis no son suficientes, ya que hay un problema en cero para el cubo de la raíz, y ya que usted puede tomar $f$ que se lleva a $1$ $-1$ sin regularidad, pero su plaza será constante.

Cómo proceder con las dos hipótesis?

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Aquí, las indicaciones que tengo desde el candidato que ha tomado el examen oral:

-En primer lugar, mostrar que $f$$C^1$: Supongamos $f(0) = 0$ (es exactamente el problema, y por la traducción consideramos que es en $0$). Supongamos que existen y el uso de las expansiones de Taylor de $f^2$ $f^3$ hasta un no de orden cero. Encontrar un polinomio de enlace entre ambos coeficientes utilizando los equivalentes. Si no existen, $f^2 =o(h^4)$ $f$ $C^1$ $0$ (?).

-El uso de la general de la expansión de Taylor (integral) por $f^3$. Supongamos que los coeficientes no son todos ceros, (cambio de los límites a$0$$1$), muestran que el parámetro integral es $C^{\infty}$, luego tomar la raíz cúbica (??).

Answer 1

Esto no es realmente una respuesta, he puesto esto como un comentario en la pregunta anterior, yo creo que la información debe ser más prominente para los futuros espectadores.

En la respuesta a la MO pregunta abordar esto, Terry Tao comentó con el siguiente enlace a su escritura de la solución del problema basado en uno de los papeles en la respuesta: http://www.math.ucla.edu/~tao/memorias/Expositivas/squarecube.dvi. Para convertir dvi a pdf, consulte este tex.SE la respuesta.

Answer 2

Lo obvio es considerar $$g=\begin{cases}f^3/f^2,&(f^2\ne0),\\0,&(f^2=0).\end{cases}$$It's not hard to show that $g$ is continuous: If $f^2\ne0$ and $|f^2| < \epsilon$ then $|g| < \epsilon^{1/2}$. One can imagine showing "directly" that $g^{(k)} $, defined at first on the set $f^2\ne0$, extends continuously to $\Bbb R $, but it seems like things are going to get worse and worse as $k$ aumenta.

El punto a esta respuesta no es que no puede trabajar por lo menos una aproximación a una solución más elegante: por un tiempo pensé en buscar una función lisa $F(x,y)$ tal que $$F(t^2,t^3)=t.$$But that's impossible; differentiating gives $$2tF_x(t^2,t^3)+3t^2F_y(t^2,t^3)=1,$$which implies $0 = 1$.