¿Cómo puedo demostrar que cualquier punto que elija en el plano estará en una línea definida por coordenadas enteras y $(0,0)$?

Question

Estaba jugando con la idea del infinito, y se me ocurrió esta pregunta. Puede que tenga o no una solución, pero de todas formas es interesante.

Comienzo en el origen de un plano cartesiano $(0,0)$. Luego, dibujo una línea a cada punto de la red. Es decir, dibujo una línea desde $(0,0)$ hasta todos los $(x,y)$ donde $x,y \in \mathbb Z$.

Puede verse algo así, excepto que obviamente habría muchas más líneas:

La pregunta es demostrar (o refutar) que cualquier punto $(p,q)$ para $p,q \in \mathbb R$ que elija estará en una línea.

Por ejemplo, elijo el punto $(2.5, -7)$. Eso está en la línea creada al unir $(0,0)$ con $(5,-14)$. Es simple probar números racionales, ya que solo tienes que multiplicar hasta obtener un número entero.

Estoy más interesado en los irracionales. Digamos que elijo el punto $(\pi, \sqrt 2)$. Debido a que los puntos de la red continúan infinitamente, intuitivamente, debe haber una línea en la que el punto $(\pi, \sqrt 2)$ se encuentre. Pero no tengo forma de encontrarla. ¿Es esto algún tipo de paradoja?

Answer 1

Aquí hay una prueba, que Lulu insinuó en los comentarios:

Supongamos que tengo el punto $(\pi, \sqrt{2})$, y hubiera una línea $y = mx$ en la que se encuentra. Esa línea necesitaría una pendiente $m = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$. ¿Qué punto de la red podemos elegir con ese tipo de pendiente? No podemos elegir ninguno, ya que, para todos los puntos de la red $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$, la pendiente resultante es un número racional $\frac{b}{a}\in\mathbb{Q}$, y $m$ es irracional.

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Puede haber intentado una prueba más simple, donde "los puntos de la red continúan para siempre", al notar que la línea $y = mx$ mapea la recta real en el plano. El número de líneas se puede enumerar; el espacio de líneas tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{R}^1\times\mathbb{N}^2$, que tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{R}^2$. ¡Seguramente esto significa que son el mismo espacio, como una curva de relleno de espacio!

No es así. Igual cardinalidad es bijección, no igualdad. Tenga cuidado con los argumentos sobre "cosas que continúan para siempre", o dependencia de la cardinalidad/"infinito". Son difíciles de formar correctamente.

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EDITAR: Numberphile ha realizado un video fantástico sobre este problema exacto, lo que ellos llaman "Problemas de huerto", porque cada punto en la red se puede ver como un árbol en un huerto infinito en el plano. Mira el video aquí.