Implica de cada subconjunto infinito de $E$ $\mathbb R^k$ tener un punto de límite en $E$ $E$ está cerrado

Question

Esto es exactamente lo que está escrito en Walter Rudin capítulo 2, Teorema 2.41:

Si $E$ no es cerrado, entonces hay un punto de $\mathbf{x}_o \in \mathbb{R}^k$ que es un punto límite de $E$ pero no un punto de $E$. Para $n = 1,2,3, \dots $ hay puntos de $\mathbf{x}_n \in E$ tal que $|\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_o| < \frac{1}{n}$. Deje $S$ el conjunto de estos puntos de $\mathbf{x}_n$. A continuación, $S$ es infinito (de lo contrario $|\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_o|$ tendría un constante valor positivo, para una infinidad de $n$), $S$ ha $\mathbf{x}_o$ como un punto límite, y $S$ no tiene otro límite que el punto en $\mathbb{R}^k$. Por si $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^k, \mathbf{y} \neq \mathbf{x}_o$, luego \begin{align} |\mathbf{x}_n-\mathbf{y}| \geq{} &|\mathbf{x}_o-\mathbf{y}| - |\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_o|\\ \geq {} & |\mathbf{x}_o-\mathbf{y}| - \dfrac{1}{n} \geq \dfrac{1}{2} |\mathbf{x}_o-\mathbf{y}| \end{align} para todos, pero un número finito de $n$. Esto demuestra que $\mathbf{y}$ no es un punto límite de $S$.

La pregunta:

Estoy atascado en la comprensión de la razón de por qué $S$ es infinito. También necesito una aclaración de por qué la última desigualdad se cumple. Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

Supongamos $S$ es finito. Entonces el conjunto $\{\, |\mathbf x - \mathbf x_o| : \mathbf x \in S \,\}$ es un conjunto finito de estrictamente números positivos. Por lo tanto, tiene un miembro más pequeño, que es un número positivo. Elija $m$ tan grande que $1/m$ es menor que el número más pequeño. Entonces no hay puntos de $E$ están dentro de una distancia de $1/m$ $\mathbf x_o,$ $\mathbf x_o$ no sería un punto límite.

Vamos a analizar la parte de tener "constante de valor positivo para una infinidad de $n.$"

Si un conjunto es finito, entonces, una secuencia de los miembros de ese conjunto de "constante de valor positivo para una infinidad de" términos y condiciones. Considere, por ejemplo, los dígitos $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.$ La expansión decimal de un número irracional no puede contener sólo un número finito de cada uno de aquellos.

Si un determinado número positivo se produce infinitamente muchas veces en una secuencia, a continuación, la secuencia no puede acercarse a $0.$, Pero la secuencia de distancias $( |\mathbf x_n - \mathbf x_o| )_{n=1}^\infty$ enfoques $0.$

Que la última desigualdad se cumple si $n$ es lo suficientemente grande, ya que en ese caso $1/n$ es pequeña.

Answer 2

$S$ Es finito, por ejemplo $S=\{y_1,\cdots,y_k\}\subseteq\{x_n:n \in \mathbb N\}\subseteq E.$ luego los posibles valores que puede tomar cada $|x_n-x_0|$ $$|y_1-x_0|,\cdots,|y_k-x_0|.$ $

Por lo que se existe $i \in \{1,\cdots,k\}$ tal que $|x_n-x_0|=|y_i-x_0|$ para infinitamente muchos $n.$ tenemos $$|y_i-x_0|\leq \frac 1n$$ for infinitely many $n.$ Thus, $x_0 = y_i \in E, $, que es una contradicción.

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Desde $x_0 \neq y,$ entonces existe $n_0 \in \mathbb N$ tal que $$|x_0-y|>\frac {2}{n_0}>\frac 2n$$ for all $n # \geq n_0. así$ $$\frac 12 |x_0 -y|>\frac 1n$$ for all $n # \geq n_0. $

Así, $$|x_0-y|-\frac 12 |x_0-y|>\frac 1n$$ for all $n\geq n_0. $ por lo tanto, la última desigualdad sigue.

Answer 3

Decimos que $\mathbf{x}_o$ es un punto límite de $E \subseteq \mathbb{R}^k$ si y sólo si para cada a $\varepsilon>0$ existe $\mathbf{x}_{\varepsilon} \in E$ tal que $\mathbf{x}_{\varepsilon} \in B(\mathbf{x}_o,\varepsilon) \setminus \{\mathbf{x}_o\}$. Un conjunto $E \subseteq \mathbb{R}^k$ es cerrado si y sólo si contiene todos los de su límite de puntos.

Supongamos $E \subset \mathbb{R}^k$ no está cerrado, por lo que no es $\mathbf{x}_o \in \mathbb{R}^k$ tal que $\mathbf{x}_o$ es un punto límite de $E$ pero $\mathbf{x}_o \notin E$. Desde $\mathbf{x}_o$ es un punto límite de $E$ $n=1,2,3,\ldots$ existe $\mathbf{x}_n \in E$ tal que $\mathbf{x}_{n} \in B(\mathbf{x}_o,n^{-1}) \setminus \{\mathbf{x}_o\}$. Ahora el rango de la secuencia de $\{\mathbf{x}_{n}\}_{n=1}^\infty$ es un conjunto infinito; de lo contrario, no es $\mathbf{x}_{N} \in \{\mathbf{x}_{n} : n \in \mathbb{N}\}$ tal que $d(\mathbf{x}_{N},\mathbf{x}_{o})<\frac{1}{n}$ para infinidad de $n \in \mathbb{N}$, lo que implicaría que $\mathbf{x}_{N}=\mathbf{x}_{o}$, una contradicción.

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Supongamos $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^k$$\mathbf{y}\neq \mathbf{x}_o$. Desde $\mathbf{y} \neq \mathbf{x}_o$, se sigue de la definición de un espacio métrico que $d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y})>0$. Por el Principio de Arquímedes podemos encontrar un entero positivo $N$ tal que $Nd(\mathbf{x}_o,\mathbf{y})>2.$ Así que si $n\geq N$, luego \begin{aligned}d(\mathbf{x}_n,\mathbf{y}) & \geq d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y}) - d(\mathbf{x}_o, \mathbf{x}_n) \\& > d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y}) - \frac{1}{n} \\& \geq d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y}) - \frac{1}{N} \\& > d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y}) - \frac{1}{2}d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y})=\frac{1}{2}d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y}) . \end{aligned} Deje $F \subset S$ el valor del rango de la secuencia finita $\{\mathbf{x}_j \}_{j=1}^{N-1}$. Ahora bien tenemos $\mathbf{y} \in F$ o $\mathbf{y} \notin F$, por lo que se consideran los casos.

Caso $1$: $\mathbf{y} \in F$. Deje $T$ denota el conjunto $T:=\{\mathbf{x} \in F:0<d(\mathbf{x},\mathbf{y})\leq\frac{1}{2}d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y})\}$. Si $T = \emptyset$ seleccione $\hat{\varepsilon}=\frac{1}{2}d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y})$, de lo contrario, seleccione $\hat{\varepsilon}=\min\limits_{\mathbf{x}\in T} d(\mathbf{x},\mathbf{y})$.

Caso $2$: $\mathbf{y} \notin F$. Seleccionaremos $\hat{\varepsilon}=\min\{d(\mathbf{x}_1,\mathbf{y}), \ldots , d(\mathbf{x}_{N-1},\mathbf{y}), \frac{1}{2}d(\mathbf{x}_o,\mathbf{y})\}$.

En cualquier caso hemos encontrado un número $\hat{\varepsilon}>0$ tal que $B(\mathbf{y}, \hat{\varepsilon})\setminus \{\mathbf{y}\} \bigcap S = \emptyset$ que es la negación de la afirmación "$\mathbf{y}$ es un punto límite de $S$".

Answer 4

Si $S$ era finito, entonces se puede tomar mínimo de $|x_n - x_0|$, puesto que hay finito muchos $x_n\in S$. (mínimo es no $0$ desde $x_0\notin S$) Pero esto se contradice con el hecho de que hay %#% de #% satisfacción $x_n$ % todos $|x_n-x_0| < 1/n$.

La última desigualdad;

\begin{equation} |\mathbf{x}_o-\mathbf{y}| - \dfrac{1}{n} \geq \dfrac{1}{2}|\mathbf{x}_o-\mathbf{y}| \iff \dfrac{1}{2}|\mathbf{x}_o-\mathbf{y}| \geq \dfrac{1}{n} \end{equation} y esto es cierto para todos sino finito muchos $n$, $n$ es un número positivo fijo y $\dfrac{1}{2}|\mathbf{x}_o-\mathbf{y}|$.