Resolviendo una ecuación compleja tipo cuadrática

Question

Sean $a, b, c, d$ números complejos no nulos dados (es decir, constantes). ¿Es cierto que la ecuación $$a|z|^2+b z+c\bar{z}+d=0$$ que es equivalente a $$|z|^2+b'z+c'\bar{z}+d'=0$$ siempre tendrá una (al menos una) solución para $z$? ¿O hay alguna condición necesaria y suficiente que $a, b, c, d$ deben cumplir para garantizar una solución en $z$? Notación: $\bar{z}$ es el conjugado complejo de $z$.

Answer 1

Generalicemos ligeramente. Considere $$a z \bar{z} + b z\bar{w} + cw\bar{z} + dw\bar{w},$$ que es algo así como una "forma cuadrática" asociada a la forma sesquilineal en $\newcommand{\CC}{\Bbb{C}}\CC^2\times\CC^2$ dada por $$B((z_1,w_1),(z_2,w_2))=az_1\bar{z_2} + bz_1\bar{w_2} + cw_1\bar{z_2} + dw_1\bar{w_2}.$$ Su ecuación es $B((z,1),(z,1))=0$.

Ahora, si $B$ es definida positiva, dado que $(z,1)\ne 0$ tendríamos $\operatorname{Re} B((z,1),(z,1)) > 0$, por lo que definitivamente no podríamos tener $B((z,1),(z,1))=0$. Por lo tanto, basta con encontrar una forma sesquilineal definida positiva cuya matriz con respecto a la base estándar no tenga entradas nulas. Aquí hay una dada por su matriz: $$ \begin{pmatrix} 1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}& 1 \end{pmatrix}, $$ que es definida positiva porque $1 > 0$ y $1-\frac{1}{4} > 0$.

Editar: En respuesta al comentario a continuación.

EDITAR 3: El argumento a continuación es incorrecto. Es muy tarde en la noche para corregirlo ahora mismo. El problema clave es que fui descuidado con las definiciones de definido positivo y definido negativo, los cuales para matrices complejas generales son matrices A tales que $\Re x^*Ax > 0$ para todo $x$ distinto de cero, ya que $x^*Ax$ no es necesariamente real. Tendré que ver si puedo corregir el argumento más tarde. Solo necesito registrar esta nota para futuros lectores.

Observe que el mismo argumento muestra que si $B$ es definida negativa, tu ecuación no tiene soluciones.

Entonces, si $B$ no es definida positiva ni definida negativa, siempre hay un vector no nulo $v$ tal que $B(v,v)=0$.

Prueba: Suponga lo contrario. Dado que $B$ no es definida positiva, hay un vector no nulo $v$ tal que $B(v,v)<0$, y dado que $B$ no es definida negativa, hay un vector no nulo $u$ tal que $B(u,u)>0$. Luego, $\CC^2\setminus\{0\}$ es conexo por caminos, así que elija un camino de $u$ a $v$ que no pase por 0. Por el teorema del valor intermedio, en algún punto $w$ en este camino se tendrá que $B(w,w)=0$, lo cual es una contradicción.

Deje que el vector $v$ con $B(v,v)=0$ sea $(z,w)$. Si $w\ne 0$, entonces $B((z/w,1),(z/w,1))=0$ resolviendo tu ecuación. Por lo tanto, el único problema es que este vector $v$ con $B(v,v)=0$ podría ser de la forma $(z,0).

Seguiré pensando en cómo resolver este problema.

Editar 2:

Observe que el conjunto de formas sesquilineales no definidas positiva ni negativamente que son malas (en el sentido de no tener solución para tu ecuación) son aquellas para las cuales $B((z,w),(z,w))=0$ si y solo si $w=0$. Con suerte podremos caracterizar éstas. En realidad, observe que si $B((z,0),(z,0))=0$, para $z\ne 0$, entonces $a\bar{z}z = 0$, por lo que $a=0$ en contra de tu suposición.

Por lo tanto, tu ecuación tiene una solución si y solo si la matriz correspondiente $$\begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix}$$ no es definida positiva ni negativa. Es decir, si y solo si su parte hermítica: $$\begin{pmatrix} \operatorname{Re} a & \frac{b+\bar{c}}{2} \\ \frac{\bar{b}+c}{2} & \operatorname{Re} d \\ \end{pmatrix} $$ no es definida positiva ni negativa. Suponiendo que $a=1$ y usando $b'$, $c'$, $d'$, la ecuación tiene una solución si y solo si $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{b'+\bar{c'}}{2} \\ \frac{\bar{b'}+c'}{2} & \operatorname{Re} d' \\ \end{pmatrix} $$ no es definida positiva y no es definida negativa. Ahora, de hecho, a partir del criterio de definición positiva/definición negativa dado aquí, dado que la esquina superior izquierda de esta matriz es 1, la matriz no es negativamente definida, y es positivamente definida si y solo si su determinante es positivo, por lo que tu ecuación tiene una solución si y solo si $$ \operatorname{Re} d' - \frac{(b'+\bar{c'})(\bar{b'}+c')}{4} = \operatorname{Re} d' - \frac{\|b'+\bar{c'}\|^2}{4} \le 0.$$

Answer 2

La ecuación no siempre tendrá soluciones, como ya se señaló anteriormente.

Lo siguiente da una condición necesaria para que existan soluciones. Consideremos, sin pérdida de generalidad, el caso $\,a=1\,$, entonces tomando los conjugados complejos en ambos lados tenemos $\,|z|^2+\bar b \bar z+ \bar c z+\bar d=0\,$. Eliminando $\bar z\,$ entre esta última y la ecuación original resulta en:

$$ (\bar b - c) |z|^2+(|b|^2-|c|^2) z + \bar b d - c \bar d = 0 \quad \iff \quad (|b|^2-|c|^2) z = (c - \bar b) |z|^2 + c \bar d - \bar b d $$

Tomando el módulo al cuadrado en ambos lados:

$$ (|b|^2-|c|^2)^2 |z|^2 = \big((c - \bar b) |z|^2 + c \bar d - \bar b d\big)\big((\bar c - b) |z|^2 + \bar c d - b \bar d\big) $$

Este último es un cuadrático en $\,|z|^2\,$, y una condición necesaria para que existan soluciones es que el cuadrático debe tener al menos una raíz real positiva. Esto se puede verificar fácilmente para valores particulares de $\,b, c, d\,$, pero escribir la condición en el caso general en términos de $\,b, c, d\,$ arbitrarios no es bonito.

Además, la condición no es necesariamente suficiente: si existe una raíz real positiva, entonces su raíz cuadrada da $\,|z|\,$, que luego se puede sustituir de nuevo en la ecuación original para obtener $\,z\,$, pero aún queda por verificar que el $\,z\,$ resultante realmente satisface la ecuación.

Answer 3

Tomemos $a=b=c=1$, entonces $d = 47$. Con $x,y$ reales y $z = x + iy$, esto es $$ x^2 + y^2 + 2x + 47 = 0, $$ $$ (x+1)^2 + y^2 + 46 = 0 $$

Answer 4

Si permitimos que $b'=c'=d'=1$, entonces $z=\alpha+\beta i$ da$$|z|^2+b'z+c'\bar{z}+d'=(\alpha^2+\beta^2)+(\alpha+\beta i)+(\alpha-\beta i)+1=\color{red}{(\alpha+1)^2+\beta^2=0}$$ lo cual es imposible incluso si $\alpha,\beta\ge0$.

Answer 5

(Publicando esto por separado ya que es un enfoque diferente con resultados diferentes, y no se superpone ni obsoleta mi primera respuesta.)

Suponiendo nuevamente sin pérdida de generalidad que $\,a=1\,$, lo siguiente demuestra que:

• la condición para que $|z|^2+bz+c\bar{z}+d=0$ tenga soluciones depende únicamente de las expresiones compuestas $\,\lambda=b-\bar c\,$ y $\,\mu=-bc+d\,$;

• la condición necesaria y suficiente para que existan soluciones es $\,|\lambda|^2 \ge 2 \big(\,|\mu| + \operatorname{Re}(\mu) \,\big)\,$.

En primer lugar, la ecuación se puede reescribir como:

$$ |z|^2+bz+c\bar{z}+d=0 \quad\iff\quad(z+c)(\bar z + b) - bc + d = 0 \tag{1} $$

Luego, la sustitución $\,z+c=w\,$ y $\,\lambda=b-\bar c\,$, $\,\mu=-bc+d\,$ nos da:

$$ |w|^2+\lambda w + \mu = 0 \quad\iff\quad \lambda w = -\left(|w|^2+ \mu\right) \tag{2} $$

Tomando el módulo cuadrado en ambos lados:

$$ |\lambda|^2|w|^2=\left(|w|^2+ \mu\right)\left(|w|^2+ \bar \mu\right) \quad\iff\quad |w|^4 - \left(|\lambda|^2 - 2 \operatorname{Re}(\mu)\right)|w|^2 + |\mu|^2 = 0 \tag{3} $$

Esta última es una cuadrática en $\,|w|^2\,$ con coeficientes reales y el producto de las raíces es $\,|\mu|^2 \ge 0 \,$, por lo que si las raíces son reales entonces tienen el mismo signo. Por lo tanto, las condiciones para raíces reales y positivas son:

• discriminante no negativo: $\;\Delta \ge 0 \iff \left||\lambda|^2 - 2 \operatorname{Re}(\mu)\right| \ge 2 |\mu|\,$;

• suma no negativa de las raíces: $\;|\lambda|^2 - 2 \operatorname{Re}(\mu) \ge 0\,$.

Combinando las dos desigualdades se obtiene la condición necesaria $\,|\lambda|^2 \ge 2 \big(\,|\mu| + \operatorname{Re}(\mu) \,\big)\,$.

Para demostrar que la condición también es suficiente, tomemos $\,|w|^2=w_2\,$ como una solución real y positiva de $\,(3)\,$:

• Si $\lambda \ne 0$, entonces sustituyendo $\,|w|^2=w_2\,$ en $\,(2)\,$ obtenemos $\,w = - \dfrac{w_2+\mu}{\lambda}\,$:

  • se sigue de $\,(3)\,$ que $\,|w|^2=w_2\,$, y

  • se sigue de $\require{cancel}\,(2)\,$ que $\,|w|^2+\lambda w+\mu=\cancel{w_2} - \lambda\cdot \dfrac{\cancel{w_2}+\bcancel{\mu}}{\lambda}+\bcancel{\mu} = 0\,$.

  Por lo tanto, $\,w = - \dfrac{w_2+\mu}{\lambda}\,$ satisface la ecuación original.

• Si $\,\lambda=0\,$, entonces $\,|\lambda|^2 = 0 \ge 2 \big(\,|\mu| + \operatorname{Re}(\mu) \,\big) \iff \mu \in \mathbb{R}, \mu \le 0\,$. En este caso, la ecuación se reduce a $\,|w|^2+\mu=0\,$ que tiene soluciones con $\,|w| = \sqrt{-\mu}\,$, infinitas si $\,\mu \lt 0\,$.

Así que $\,|\lambda|^2 \ge 2 \big(\,|\mu| + \operatorname{Re}(\mu) \,\big)\,$ es la condición necesaria y suficiente para que existan soluciones.