Probar de refutar la siguiente: Si $m,n$ son enteros positivos, donde $n=m^2+m+1$, e $n$ no tiene primos divisores menores que $m+1-\sqrt{m}$, $n$ es primo.
He estado jugando con este problema desde hace bastante tiempo ahora. Estoy convencido de que es muy grande el contraejemplo. Un número básico de la teoría hecho es que si un número $n$ no tiene primos divisores menores que $\sqrt{n}$ debe ser primo. Para este problema $\sqrt{n}=\sqrt{m^2+m+1}$. Ahora hay una brecha entre las $m+1-\sqrt{m}$ $\sqrt{m^2+m+1}$ que es poco para la pequeña $m$, pero se hace más grande para un mayor $m$. Esta es la razón por la que yo creo que hay un gran contador de ejemplo. Por lo tanto, necesito encontrar los números primos $x_1,x_2, \cdots x_n \in \mathbb{N}$ tal que $$\prod_{i=1}^n x_i=m^2+m+1$$ for some $m \in \mathbb{N}$ y, $$x_i \in (m+1-\sqrt{m} , \sqrt{m^2+m+1})$$
O tengo que demostrar que no los números pueden existir en la que estoy seguro de cómo proceder.
Cualquier ayuda o sugerencia se agradece, gracias!
EDIT: he consultado con mi profesor, mientras que él no iba a dar ninguna pista hizo confirmar que el intervalo debe ser de hecho un intervalo abierto.
