Demostrar que no hay un continuo surjection $f: [0, 1] \to \Bbb R$ (sin compacidad)

Question

Definiciones:

Continuo: Un mapa de $f: X \to Y$ donde $X$ $Y$ son espacios topológicos, es continua si la preimagen en $X$ de cualquier conjunto abierto en $Y$ está abierto.

La topología de subespacio: Si $(X, \mathcal{T})$ es un espacio topológico, el subespacio topología en un conjunto $S \subset X$$\mathcal{T}_S = \{S \cap U : U \in \mathcal{T}\}$.

El problema dice que $[0, 1]$ es un espacio topológico con la topología de subespacio, lo que significa que algunos de los conjuntos que no quiero pensar es abierto, como $[0, 1]$, es un conjunto abierto, por lo que este tipo de me desconcertó. Yo sé de una clase diferente que preserva la continuidad de compacidad, así que ya sé que no existe una función continua, pero no está permitido el uso de compacidad para este problema.

Es allí una manera de mostrar el uso de la topología de subespacio de $[0, 1]$ que no hay un continuo surjection desde el espacio topológico $[0, 1]$ con la topología de subespacio en $\Bbb R$?

Answer 1

Vamos a hacer trampa y utilizar sólo que $[0,1]$ es cerrado y acotado:

Para cada una de las $k\in\mathbb N$ pick $x_k\in[0,1]$$f(x_k)=k$. Comenzando con $I_0=[0,1]$, que contiene todos los $x_k$, podemos dividir repetidamente $I_n=[a_n,b_n]$ en dos subintervalos $[a_n,\frac{a_n+b_n}2]$, $[\frac{a_n+b_n}2,b]$ y uno de estos contiene una infinidad de $x_k$, y dejamos $I_{n+1}$ ser ese intervalo. Entonces la intersección $\bigcap_{n\in\mathbb N} I_n$ es un singleton set $\{a\}$ donde $a\in[0,1]$. Un adecuado subsequence $x_{k_n}$ de la $x_k$ converge a $a$, henc por la continuidad de $f(x_{k_n})\to f(a)$, lo cual es absurdo.