Estado si $x^5-5x^4+10x^3-7x^2+8x-4$ es irreducible o no

Question

He probado de todo, en mi conocimiento y no, yo no estado. He intentado factorizor en línea que me dice que no es factorizable por lo tanto irreductible. Pero no puedo razón por qué.

Miré el criterio de Eisenstein, pero obviamente, no es el primer $q$ que se ajusta a los criterios, así que esto es inútil.

Luego traté de reducibilidad a través del modulo de reducción, y esto me da las opciones para probar irreductibilidad hasta mod $8$ ya que es el mayor coeficiente en el polinomio...¿sí? Pero cada mod llega al polinomio de ser reducible...así que, básicamente, no me dice que es irreducible. Para mod 2, me sale un 0 como una solución a la reducción del polinomio, lo que significa que puedo factor de con $x$. Del mismo modo, mod 3 dice 1 es una solución para $(x-1)$ debería ser una solución. De manera similar, los puedo conseguir el mod 4,5,6,7 tener soluciones 0,3,4,6.

Me estoy perdiendo algo? Esto es lo mejor que puedo hacer, nada más me asegura irreductibilidad a todos. Ideas por favor...?

Answer 1

Deje $\phi(x)$ denotar su polinomio. A continuación, tomamos nota de que $$\phi(x+1)=x^5+3x^2+9x+3$$ y podemos invocar el criterio de Eisenstein.

Answer 2

Deje $x = y+1$. A continuación, esta ecuación se convierte en:

$y^5+3y^2+9y+3$. El uso de Eisenstein para mostrar esto es irreductible. Por lo tanto, el original también es irreducible.

Answer 3

Una opción es reducir el polinomio dado modulo $11$, en cuyo caso los factores ( $\Bbb F_{11}$ ) como $$(x - 5)(x^4 - x^2 - x - 3).$$ Por lo tanto, si el polinomio es reducible $\Bbb Q$, tiene un factor linear y una irreductible cuártica factor de allí.

Por otro lado, la comprobación de la lista corta, $\pm 1, \pm 2, \pm 4$, de los candidatos dada por la Raíz Racional de la Prueba muestra que el polinomio no tiene raíces racionales y por lo tanto no lineal de los factores. (De hecho, puesto que los signos del polinomio son alternando, todas sus raíces reales son positivos, por lo que sólo tenemos que comprobar $+1, +2, +4$.) Por lo tanto, el polinomio es irreducible.

(Como alternativa, dado el polinomio es irreducible en total modulo $17$, pero esto es seguramente aún menos agradable de verificación por parte de la mano de la irreductibilidad del modulo $11$ de los de arriba el cuarto grado.)