Encontrar el valor de $x$ tal que $f(x)=K$

Question

Deje $f(x)=\lfloor\{\sqrt{x}\}.10^{18}\rfloor$

donde $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ es decir, la parte fraccionaria de x, lo que significa que los valores después del punto decimal.

Por ejemplo, $\sqrt 3 = 1.7320508075688772935274...$
y $f(3) = 732050807568877293$

Dado el valor de $f(x)=K$, ¿cómo puedo encontrar cualquier posible valor de $x=x_0$, de modo que $f(x_0)=K$ $x_0$ es un número ENTERO menor que $10^{18}$.

Answer 1

Desde $\{\sqrt{x}\}\in[0,1[$ $f(x)=K$ es un número entero en el rango de $0..10^{18}$.

Mi primer pensamiento es para tomar una aproximación racional a$\alpha$$10^{-18}K\in[0,1]$.

Si $x=p^2$ $p$ entero, a continuación,$f(p)=0$, por lo que podemos suponer $p^2<x<(p+1)^2$

Esto puede ser reescrito $x=p^2+r$ $r=1,..,2p$

En ese caso $\{\sqrt{x}\}=\{\sqrt{p^2+r}\}=\{p\sqrt{1+\frac r{p^2}}\}=\{p(1+\frac{r}{2p^2}+o(\frac r{p^2}))\}=\{\frac r{2p}+o(\frac rp)\}$

Si podemos encontrar una aproximación tal que $\alpha=\frac{r}{2p}\simeq 10^{-18}K$ a continuación, se debe tener

$\{\sqrt{x}\}\simeq \alpha$ $f(x)\simeq K$.

Esto es sólo una idea aproximada, tal vez alguien puede hacer el trabajo.