Aquí están algunas observaciones respecto a la enumeración de estos gráficos
hasta el isomorfismo. La OEIS no parece tener una entrada para el
contar aún así la falta de verificación y no hay pruebas de error de los resultados.
Observación preliminar. Vamos a llamar a estas cacterpillar ciempiés
y se refieren a ellos como los ciempiés todo.
Consideramos que el esqueleto del ciempiés en la que sustituimos
fanegas de hojas y el uso de la Polya Enumeración Teorema de contar
estas hasta el isomorfismo. Por eso necesitamos que el ciclo de índice $Z(Q_n)$ de
el ciempiés que consta de $n$ copias de una $4$-ciclo. (Las ranuras para
la aplicación de las MASCOTAS son los nodos que tienen un grado dos).
Los automorfismos de la centiped son generados por un solo flip sobre
un eje vertical que pasa por el centro individuales y volteretas que
intercambio de la parte superior e inferior de nodo de una $4$-ciclo.
Ahora establecemos las recurrencias para el ciclo de índice de los mandantes de la
dos tipos de automorfismos. El primer tipo de $T$ es la mueve de la parte superior
y la parte inferior de los nodos de la $4$-ciclos sin la tapa de la totalidad de la
ciempiés que los mapas de izquierda a derecha. Obtenemos
$$t_0 = 1, t_1 = \frac{1}{2} (a_1^2 + a_2)
\quad\text{y}\quad
t_n = t_{n-2} \times
\frac{1}{4} (a_1^4 + 2 a_1^2 a_2 + a_2^2).$$
Lo anterior no cuenta para los dos nodos finales que vamos a tratar
en la final. El segundo tipo de $S$ se compone de una izquierda-derecha intercambio de
flip combinado con los distintos lanzamientos de la parte superior e inferior de los nodos de
$4$-ciclos. Obtenemos
$$s_0 = 1, s_1 = \frac{1}{2} (a_1^2 + a_2)
\quad\text{y}\quad
s_n = s_{n-2} \times
\frac{1}{4} (2 a_2^2 + 2 a_4).$$
Desenrollar estas muy simple recurrencias y haciendo la contabilidad que le
obtener
$$t_{2n} = \frac{1}{2^{2n}} (a_1^2 + a_2)^{2n}
\quad\text{y}\quad
t_{2n+1} = \frac{1}{2^{2n+1}} (a_1^2 + a_2)^{2n+1}$$
que nos pueden unirse para producir
$$t_n = \frac{1}{2^n} (a_1^2 + a_2)^n.$$
Para $s_n$ obtenemos
$$s_{2n} = \frac{1}{2^n} (a_2^2 + a_4)^n
\quad\text{y}\quad
s_{2n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} (a_1^2+a_2) (a_2^2 + a_4)^n.$$
Ahora estamos listos para construir el ciclo de índice de las especies de ciempiés
$\mathfrak{Q}$ , que está dada por
$$\sum_{n\ge 1} Z(Q_n)
= \frac{1}{2} \sum_{n\ge 1} (a_1^2 t_n + a_2 s_n)$$
donde hemos incluido los términos para el exterior de los dos nodos.
El primer término es fácil de suma y funciona a
$$ - \frac{1}{2} a_1^2 +
\frac{1}{2} a_1^2 \frac{1}{1-(a_1^2+a_2)/2}.$$
El segundo plazo de los rendimientos de
$$ - \frac{1}{2} a_2 +
\frac{1}{2} a_2 \frac{1}{1-(a_2^2+a_4)/2} +
\frac{1}{4} a_2 (a_1^2+a_2) \frac{1}{1-(a_2^2+a_4)/2}.$$
Esto finalmente se obtiene la ecuación para el ciempiés operador
$$\sum_{n\ge 1} Z(Q_n) = -\frac{1}{2} (a_1^2 + a_2) +
\frac{\frac{1}{2} a_1^2}{1-(a_1^2+a_2)/2} +
\frac{\frac{1}{2} a_2 + \frac{1}{4}a_2 (a_1^2+a_2)}{1-(a_2^2+a_4)/2}.$$
Ahora podemos sustituir en este operador para obtener diversas la generación de
funciones. El repertorio para la fanegas siempre contiene un $z$ plazo
como pasa en la ranura para representar el nodo al que las hojas son
adjunta.
La primera es
$$\sum_{n\ge 1} Z(Q_n)(z) =
\frac{z^4}{1-z^2}.$$
Esto representa simplemente el hecho de que exista un ciempiés cuando no
hay hojas (no estamos contando la $n+1$ nodos en el horizontal
eje de la columna vertebral del ciempiés ya que no fanegas se adjuntan).
Ahora supongamos que hay una hoja en el exterior de los nodos. Este rendimientos
$$\sum_{n\ge 1} Z(Q_n)(z+z^2) =
-{\frac {{z}^{4} \left( {z}^{2}+z+1 \right) \left( {z}^{7}+{z}^{5}-{
z}^{4}+2\,{z}^{3}-1 \right) }{ \left( {z}^{6}+{z}^{2}-1 \right)
\left( {z}^{3}+z-1 \right) }}.$$
Por último consideramos que puede haber cualquier número de hojas. Esto le da
$$\sum_{n\ge 1} Z(Q_n)\left(\frac{z}{1-z}\right) =
{\frac {{z}^{4} \left( {z}^{6}+{z}^{5}-2\,{z}^{4}-{z}^{3}-{z}^{2}+1
\right) }{ \left( -1+z \right) ^{2} \left( z+1 \right) \left( {z}^{
6}-2\,{z}^{4}-{z}^{2}+1 \right) \left( {z}^{3}-2\,{z}^{2}-z+1
\right) }}.$$
Como se señaló anteriormente, estos dos últimos aún no han OEIS entradas.
Son
$$0, 0, 0, 1, 2, 4, 4, 7, 8, 14, 17, 28, 36, 57, 76, 118, 162, 247,
346, 521,\ldots$$
y
$$0, 0, 0, 1, 2, 6, 10, 22, 37, 73, 124, 233, 404, 743, 1306, 2377,
4221, 7645,\ldots$$
He aquí algunos de Arce código que puede ser utilizado para explorar estas secuencias
y el ciclo correspondiente a los índices.
con(planta):
pet_varinto_cind :=
proc(poli, ind)
local subs1, subs2, polyvars, indvars, v, bote, res;
res := ind;
polyvars := indets(poli);
indvars := indets(ind);
para v en indvars ¿
bote := op(1, v);
subs1 :=
[seq(polyvars[k]=polyvars[k]^olla,
k=1..nops(polyvars))];
subs2 := [v=subs(subs1, poli)];
res := subs(subs2, res);
od;
res;
end;
cp_perm_T :=
proc(n)
si n=0 entonces devolver 1 fi;
si n=1, a continuación, volver 1/2*(a[1]^2+a[2]) fi;
1/4*(a[1]^4+2*a[1]^2*a[2]+a[2]^2)*cp_perm_T(n-2);
end;
cp_perm_T_ex :=
proc(n)
1/2^n*(a[1]^2+a[2])^n;
end;
cp_perm_S :=
proc(n)
si n=0 entonces devolver 1 fi;
si n=1, a continuación, volver 1/2*(a[1]^2+a[2]) fi;
1/4*(2*a[2]^2+2*a[4])*cp_perm_S(n-2);
end;
cp_perm_S_ex :=
proc(n)
local m;
m := floor(n/2);
si el tipo(n, incluso), a continuación,
1/2^m*(a[2]^2+a[4])^m
otra cosa
1/2^(m+1)*(a[1]^2+a[2])*(a[2]^2+a[4])^m;
fi;
end;
cp :=
proc(n)
opción de recordar;
expanda(1/2*a[1]^2*cp_perm_T(n)+1/2*[2]*cp_perm_S(n));
end;
cp_gf :=
proc(lv, n)
opción de recordar;
local m, gf;
gf := 0;
para m 2*n ¿
gf := gf + pet_varinto_cind(lv, cp(m));
od;
seq(coeftayl(de la serie(gf, z=0, 2*n+1), z=0, m), m=1..2*n);
end;
cp_gf_closed :=
proc(lv)
local cind_op;
cind_op := -1/2*(a[1]^2+a[2]) +
1/2*[1]^2/(1-([1]^2+a[2])/2) +
(1/2*a[2] + 1/4*[2]*([1]^2+a[2]))/(1-([2]^2+a[4])/2);
factor(pet_varinto_cind(lv, cind_op));
end;
Este MSElink
enumera las orugas hasta el isomorfismo, que es una especie de relacionados.
Adenda. El single $4$-ciclo también tiene un especial de rotación
la simetría que lleva la parte superior e inferior de las ranuras en la misma órbita como
la izquierda y la derecha del punto final. Esta simetría no está siendo considerado
aquí. No es difícil restar el plazo para $Z(Q_1)$ que nos
se han calculado y se sustituya por $Z(D_4).$
