¿Qué es una "condición geométrica"?

Question

La ecuación de una recta es

$$ax + by +c = 0 $$

que puede determinarse completamente si se nos dan dos "condiciones geométricas independientes". Del mismo modo, para un círculo,

$$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$

Esto está completamente determinado si se nos dan tres "condiciones geométricas independientes" cualesquiera. Mi pregunta, sin embargo, es: ¿cómo definimos una condición geométrica?

Por ejemplo, en el caso del círculo, las condiciones podrían ser tres puntos dados, o tres líneas que el círculo toca.

Lo que se califica como a ¿condición geométrica? Por ejemplo, un círculo también se determina si sólo proporcionamos el radio y el centro, lo que, superficialmente, parecería dar sólo dos condiciones geométricas.

En segundo lugar, ¿cuál es la prueba de que dos condiciones geométricas son "independientes"? ¿Cómo podemos saber si dos condiciones dadas no están vinculadas de alguna manera?

Answer 1

Respondiendo según lo que me parece a mí.

La condición geométrica es también un parámetro geométrico como la distancia independiente, la pendiente, la curvatura, etc.

Necesitamos 2 constantes para fijar una recta, 3 para fijar una circunferencia, 4 para determinar una parábola, 5 para determinar una sección cónica y quizás más para las curvas elípticas. Estas son, respectivamente:

$$ { y = m x + c ,(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, y = ( a x + b) + \sqrt {c x + d }, a x^2 + 2 h x y + b y^2 + 2 f x + 2 g y + 1 = 0.. }$$

Las condiciones geométricas son movimiento euclidiano, curvatura, variaciones de curvatura..

El número de condiciones geométricas es igual al número de constantes geométricas arbitrarias o diferenciaciones para llegar a una igualdad a cero en una relación diferencial del mismo número (de orden).

También es el número de ecuaciones necesarias para llegar a la definición de una curva que guardan una relación característica entre sí. Esta afirmación, sin embargo, intentaré editarla después de algún tiempo de una manera quizás más apropiada.

Me gusta tu pregunta. Los libros de texto deberían responder a estas preguntas de los estudiantes conectando varias áreas temáticas:

• Geometría analítica
• Isometría
• Ecuaciones diferenciales

PS EDIT1: Para un centro de círculo tenemos dos coordenadas, junto con un radio conforman tres constantes.