¿Cómo se puede evaluar $\int\frac{x\sin(x)}{x^2+1}$ sobre la línea real?

Question

Otro problema de examen que estoy viendo es evaluar la siguiente integral. $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\hspace{-0.04 in}\cdot\hspace{-0.04 in}\sin(x)}{x^{\hspace{.02 in}2}+1} dx $$ Este es un examen de análisis complejo, por lo que la solución probablemente implique contornos. $\:$ Como el integrando es una función par, se podría simplificar cambiando un extremo por $0$ . Sin embargo, no tengo ni idea cómo para que funcione un contorno, ya que el valor absoluto del integrando crece exponencialmente alejándose del eje real. ¿Qué hay que hacer para evaluar esa integral?

Answer 1

Definir

$$f(z)=\frac{ze^{iz}}{z^2+1}\;,\;\;C_R:=\{z=Re^{it}\in\Bbb C\;;\;R,t\in\Bbb R\;,\;0\le t\le \pi\}\;,\;$$

$$\gamma_r:=[-R,R]\cup C_R\;,\;\;\text{positively oriented}$$

Para $\;R>1\;$ nuestra función tiene un único simple poste en $\;z=i\;$ en $\;\gamma_R\;$ , con residuos

$$\text{Res}_{z=i}(f)=\lim_{z\to i}\;(z-i)f(z)=\frac{ie^{-1}}{2i}=\frac1{2e}$$

Así que por los Teoremas de Cauchy

$$\frac{2\pi i}{2e}=\frac{\pi i}e=\oint\limits_{\gamma_R}f(z)dz=\int\limits_{-R}^R\frac{xe^{ix}}{x^2+1}dx+\int\limits_{C_R}f(z)dz$$

Pero por El lema de Jordan

$$\left|\;\int\limits_{\gamma_R} f(z)dz\;\right|\xrightarrow [R\to\infty]{}0\;$$

Así que obtenemos

$$\frac{\pi i}e=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{x(\cos x+i\sin x)}{x^2+1}dx$$

Toma ahora sólo las partes imaginarias en ambos lados para obtener el resultado.

Answer 2

Utilizando la transformada de Fourrier

$$ \int^\infty_0 \frac{x \sin (ax)}{1 + x^2} \, dx= -\partial_a \int^\infty_0 \frac{\cos (ax)}{1 + x^2} \, dx = -\frac{1}{2}\partial_a \int_\Bbb R \frac{\cos (ax)}{1 + x^2} \, dx\\=-\frac{1}{2}\partial_a Re\left(\int_\Bbb R \frac{e^{iax}}{1 + x^2} \, dx\right)=-\frac{1}{2}\partial_a \left[Re\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{1 + x^2} \right)(a)\right]\\=\color{red}{-\frac{1}{2}\partial_a \left(\pi e^{-|a|}\right) =\frac{sign(a)\pi}{2} e^{-|a|}} $$

Vea todos los detalles explicativos a continuación

Recordemos que, si consideramos la transformada de Fourier $$\mathcal Ff (a) =\int_\Bbb R e^{-ia x}f(x)dx$$ entonces su inversa de Fourier se define como $$\mathcal F^{-1}f (x) =\frac{1}{2\pi}\int_\Bbb R e^{it x}f(t)dt.$$

Pero lo hemos hecho, \begin {split} \mathcal F(e^{-|t|})(x) = \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{-|t|}e^{-ix t}\,dt &=& \int_ {- \infty }^{0}e^{t}e^{-ix t}\,dt+ \int_ {0}^{ \infty }e^{-t}e^{-ix t}\\_dt \\ &=& \left [ \frac {e^{(1-ix)t}}{1-ix} \right ]_{- \infty }^0- \left [ \frac {e^{-(1+ix)t}}{1+ix} \right ]_{0}^{ \infty } \\ &=& \frac {1}{1-ix}+ \frac {1}{1+ix} \\ &=& \color {rojo}{ \frac {2}{x^2+1}.} \end {split} Entonces, $$ \begin{align} e^{-|a|}=\mathcal F^{-1}\left( \frac{2}{x^2+1}\right)(a) &=\frac{1}{2\pi}\int_\Bbb R \frac{2}{x^2+1}e^{ix a}\,dx = \frac{1}{\pi}\int_\Bbb R\frac{e^{ix a}}{x^2+1}\,dx \\&=\frac{1}{\pi}\int_\Bbb R\frac{\cos a x}{x^2+1}\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\cos ax}{x^2+1}\,dx \end{align} $$ Dado que, como $x\mapsto\sin ax $ es una función antigua que tenemos, $$\int_\Bbb R \frac{\sin{a x}}{x^2+1}dx= 0.$$

Así tenemos, $$ \int_0^\infty\frac{\cos ax}{x^2+1}\,dx =\frac{\pi}{2}e^{-|a|} $$