Una declaración sobre un elemento $a$ en el semigrupo S, tal que $aS$ contiene idempotentes y $a=axa$ implica $x=xax$

Question

Actualmente he estado estudiando algunas características de semigrupos completamente regulares y completamente simples y me he topado con un lema, que parece sencillo, pero estoy luchando con su demostración, así que me preguntaba si alguien podría ayudarme. El lema dice:

Dejemos que $S$ sea un semigrupo arbitrario y que $a\in{}S$ sea un elemento tal, que $aS$ contiene un idempotente y para cada $x\in{}S$ , $a=axa$ implica que $x=xax$ . Entonces $a\in{}a^2S$ y para cada $x\in{}S$ , $a=a^2x$ implica que $x=x^2a$ .

Agradecería cualquier ayuda :-)

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Sea $S = \{a, 0\}$ con $s^2 = 0$ y $a0 = 0 = 00 = 0a$ . Entonces $aS$ contiene el idempotente $0$ y para cada $x \in S$ la condición $a=axa$ implica que $x=xax$ ya que la premisa nunca se cumple. Sin embargo, $a^2S = \{0\}$ y por lo tanto $a \notin a^2S$ .

Pero de hecho, usted no reprodujo el ejercicio correctamente. La declaración original era la siguiente:

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Para todos $a \in S$ el conjunto $aS$ contiene un idempotente y para todo $a, x \in S$ la condición $axa = a$ implica $x = xax$ .
2. Para todos $a \in S$ , $a \in a^2S$ y para todos $a, x \in S$ la condición $a = a^2x$ implica $x = x^2a$ .

Has pedido una prueba de que (1) implica (2). Aquí hay una:

Dejemos que $a \in S$ . Entonces $aS$ contiene un idempotente, digamos $e = ax$ . Así, $e = e(ax)e$ De ahí que $ea = (ea)x(ea)$ y $x = x(ea)x$ por la segunda parte de (1). De ello se desprende $x = xeax = xee = xe$ . Por lo tanto, $x = xax$ y $a = axa$ . Dejemos ahora $y \in S$ sea tal que $a^2y$ es idempotente. Por el argumento anterior, $y = ya^2y$ y por lo tanto $ay = aya^2y = (ay)a(ay)$ De ahí que $a = a(ay)a = a^2(ya)$ . Así, $a \in a^2S$ . De la misma manera, $ya = (ya)a(ya)$ De ahí que $a = a(ya)a$ y $a \in Sa^2$ . En particular, se deduce que $a\ \mathcal{H}\ a^2$ . Así, por el lema de Green, el $\mathcal{H}$ -clase de cada elemento de $S$ es un grupo.

Supongamos ahora que $a = a^2x$ para algunos $x \in S$ . Sea $e$ sea el idempotente de la $\mathcal{H}$ -clase $G$ de $a$ y que $f$ sea el idempotente de la $\mathcal{H}$ -clase $H$ de $x$ . Sea $\bar a$ sea la inversa de $a$ en $G$ . Entonces $e = \bar aa = \bar a(a^2x) = ax$ y por lo tanto $axa = a$ y $xax = x = xe$ . Así, $e \ \mathcal{L}\ x \ \mathcal{L}\ f$ y por lo tanto $ef = e$ y $fe = f$ . Por el lema de Green, el mapa $u \to fu$ define una biyección desde $G$ en $H$ y por lo tanto existe $b \in G$ tal que $x = fb$ . Por lo tanto, ya que $a = ae$ obtenemos $a = a^2x = a^2fb = a(ae)fb = aaeb = aab$ y por lo tanto $b = \bar a$ . En consecuencia, dado que $xf = x$ obtenemos $x^2a = xf\bar aa = x\bar aa = xe = x$ .