Una de mis preguntas sobre los deberes era demostrar, a partir de los axiomas de ZF sólo, que un contable de la unión de conjuntos contables ¿ no tiene cardinalidad $\aleph_2$. Mi solución muestra que no tiene cardinalidad $\aleph_n$ donde $n$ es cualquier no-cero ordinal (no necesariamente finita). Tengo la leve sospecha de que mi solución es realmente válido, pero no puedo encontrar ninguna referencia que invalida mi conclusión.
He leído que es comprobable en ZF que no hay cardenales $\kappa$ tal que $\aleph_0 < \kappa < \aleph_1$, pero creo que la conclusión de mi prueba no excluye la posibilidad de que la cardinalidad es incomparable a $\aleph_1$ o algo así.
Creo que el punto más débil de mi solución es donde afirmo que el supremum de una contables conjunto de contables ordinales es de nuevo contables. Esto es cierto, por supuesto, pero suena demasiado cerca de la reivindicación", un contable de la unión de conjuntos contables es contable", el cual es bien conocido por ser improbable en ZF. ¿Alguien puede confirmar que el ordinal versión es comprobable en ZF aunque? Si no, creo que puede debilitar la afirmación de que "el supremum de cualquier conjunto de contables ordinales es en la mayoría de las $\omega_1$", y con esto se establece el resultado más débil que la cardinalidad de una contables de la unión de conjuntos contables no es $\aleph_n$ para cualquier ordinal $n \ge 2$.
