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La cardinalidad de una contables de la unión de conjuntos contables, sin el axioma de elección

Una de mis preguntas sobre los deberes era demostrar, a partir de los axiomas de ZF sólo, que un contable de la unión de conjuntos contables ¿ no tiene cardinalidad $\aleph_2$. Mi solución muestra que no tiene cardinalidad $\aleph_n$ donde $n$ es cualquier no-cero ordinal (no necesariamente finita). Tengo la leve sospecha de que mi solución es realmente válido, pero no puedo encontrar ninguna referencia que invalida mi conclusión.

He leído que es comprobable en ZF que no hay cardenales $\kappa$ tal que $\aleph_0 < \kappa < \aleph_1$, pero creo que la conclusión de mi prueba no excluye la posibilidad de que la cardinalidad es incomparable a $\aleph_1$ o algo así.

Creo que el punto más débil de mi solución es donde afirmo que el supremum de una contables conjunto de contables ordinales es de nuevo contables. Esto es cierto, por supuesto, pero suena demasiado cerca de la reivindicación", un contable de la unión de conjuntos contables es contable", el cual es bien conocido por ser improbable en ZF. ¿Alguien puede confirmar que el ordinal versión es comprobable en ZF aunque? Si no, creo que puede debilitar la afirmación de que "el supremum de cualquier conjunto de contables ordinales es en la mayoría de las $\omega_1$", y con esto se establece el resultado más débil que la cardinalidad de una contables de la unión de conjuntos contables no es $\aleph_n$ para cualquier ordinal $n \ge 2$.

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Greg Case Puntos 10300

$\omega_1$ puede ser una contables de la unión de contables ordinales, es decir, el sup de una contables conjunto de contables de los números ordinales.

Esta consistencia resultado fue uno de los primeros encontrado con forzamiento. Se anunció en S. Feferman-A. Levy, "la Independencia de los resultados en el conjunto de la teoría de Cohen método II", Avisos de Amer Matemáticas Soc., 10, (1963) 593.

El resultado es que es consistente con ZF que ${\mathbb R}$ es una contables de la unión de conjuntos contables. A partir de esto, se deduce fácilmente que el $\omega_1$ también tiene esta propiedad. Una prueba se puede encontrar en Jech el libro sobre el Axioma de Elección.

El problema es que, como se sospecha, "El supremum de una contables conjunto de contables ordinales" no puede ser probado sin alguna opción para ser contable. El problema es que aunque sabemos que cada contables ordinal es en bijection con $\omega$, no hay manera uniforme de escoger para cada contables ordinal uno de esos bijection. Ahora, usted necesita para ejecutar la prueba usual que un contable de la unión de conjuntos contables es contable.

De hecho, las cosas pueden ser peor: Gitik mostró que es consistente con la ZF que cada infinita (ordenada) el cardenal ha cofinality $\omega$. ("Toda la multitud de los cardenales pueden ser singular", Israel J. Matemáticas, 35, (1980) de 61 a 88.)

Por otro lado, uno puede comprobar que una contables de la unión de conjuntos contables de los ordinales debe tener tamaño en la mayoría de las $\omega_1$ (que es lo que tu HARDWARE está pidiendo a verificar). Así, en Gitik del modelo, $\omega_2$ es una contables de la unión de contables de los sindicatos de contables de los ordinales, pero no un contable de la unión de contables de los números ordinales.


Permítanme añadir dos comentarios acerca de otras cosas que usted dice en su pregunta: Se escribe "he leído que es comprobable en ZF que no hay cardenales $\kappa$ tal que $\aleph_0<\kappa<\aleph_1$". Esto es cierto, pero es más fuerte que la que: Por definición $\aleph_1$ es el primer ordinal que no es contable, entonces por supuesto que no hay cardenales en la entre $\aleph_0$$\aleph_1$. Del mismo modo, no hay cardenales entre cualquiera (ordenada) el cardenal $\kappa$ y su sucesor $\kappa^+$, por definición.

Es cierto, sin embargo, que una contables de la unión de conjuntos contables no necesita ser comparable con $\aleph_1$ sin elección. De hecho, podemos tener un no-bien-paquete conjunto que puede ser escrito como una contables de la unión de los conjuntos de tamaño 2.

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