Intervalos como infinitesimales del mismo orden (Landau y Lifshitz)

Question

No entiendo la siguiente declaración en Landau & Lifshitz, Teoría clásica de campos, p.5:

$ds$ $ds'$ son infinitesimales del mismo orden. [...] Sigue que $ds^2$ y $ds'^2$ debe ser proporcional a cada uno otro: $$ds^2 = a \, ds'^2.$ $.

No entiendo por qué se aplica la proporcionalidad, y por qué se aplica a las plazas de los infinitesimales.

Answer 1

Si $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A$ ($A$ es un número diferente de cero), entonces las funciones de $\alpha(x)$ $\beta(x)$ son llamados infinitesimals de la misma [1].

La proporcionalidad en $x\rightarrow 0$ debería ser obvio a partir de esto.

[1] http://www.math24.net/infinitesimals.html

Answer 2

En primer lugar, Landau y Lifshitz declaró que $ds$ $ds'$ enfoque de cero simultáneamente, de modo que hay una parte oculta de la variable $x$ de manera tal que, \begin{equation} \lim_{x\to 0} ds(x) =0 \end{equation} y \begin{equation} \lim_{x\to 0} ds'(x) =0, \end{equation} suponiendo que e $ds$ $ds'$ son funciones continuas de $x$.

A continuación, las dos son infinitesimals de la misma orden, ya que los dos sistemas de inercial $K$ $K'$ son equivalentes. El marco de $K'$ (en la que el intervalo de $ds'$ se mide) se mueve en relación al marco de $K$. Supongamos $ds'$ es un infinitesimales de orden mayor que $ds$, es decir, según la referencia dada en la respuesta anterior, \begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{ds'(x)}{[ds(x)]^n} = A,\quad A\neq 0,\quad n>1, \end{equation} donde $A$ puede depender sólo de la magnitud de la velocidad relativa, no de su dirección y, ciertamente, no las coordenadas, por razones relacionadas con la homogeneidad del espacio y del tiempo y la isotropía del espacio. Desde $K$ también está en movimiento con respecto a $K'$ y el principio de la relatividad sostiene, por simetría se debe tener \begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{ds(x)}{[ds'(x)]^n} = A,\quad A\neq 0,\quad n>1, \end{equation} lo cual es absurdo. Por lo tanto $ds$ $ds'$ tienen que ser infinitesimals de la misma orden.