Las definiciones son sólo definiciones, si lo desea, puede pedir: incluso si un anillo de grupo se define de manera diferente, no el anillo me definido sentido? ¿Qué propiedad hace falta? Voy a usar la misma forma de la definición de un anillo en un par de casos para mostrar la respuesta depende de la forma de escribir del grupo, pero que no hay una "mejor" manera de escribir el grupo que se encarga de todos los demás. La mejor manera es llamado tanto la regular de la representación y el anillo de grupo.
El pequeño anillo de S
Original anillo de S puede ser definida usando G: $$g = \left[\begin{array}{rr} . & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right] \qquad G = \langle g \rangle \qquad S = F[g] = \left\{ a g^0 + b g^1 : a,b \in F \right\}$$
El anillo S tiene una F-base { g0, g1 }, ya que g2 + g1 + g0 = 0. En otras palabras, tenemos una F-álgebra generada por un único elemento sujeto a una relación. Eso significa que S ≅ F[x]/(x2+x+1).
Este S es en realidad un campo siempre que x2+x+1 es irreducible, entonces, cuando F es el campo de dos elementos, S es el campo de los cuatro elementos. Los campos son muy agradables, tan S es un bonito anillo, pero resulta que es demasiado pequeño para realmente captar todos los grupos cíclicos de orden tres.
Una mayor anillo de T
El original de las matrices de G puede ser hábilmente se expandió con el producto de Kronecker para formar un grupo H, por definición: $$ h = \left[\begin{array}{rr|rr} . & . & . & 1 \\ . & . & -1 & -1 \\ \hline . & -1 & . & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 0g & 1g \\ -1g & -1g \end{array}\right] \qquad H = \langle h \rangle \qquad T = F[h]$$
Ahora uno rápidamente se comprueba que mientras que h3 = h0, el conjunto { h0, h1, h2 } es linealmente independiente sobre F. Poniendo estos dos juntos tenemos que { h0, h1, h2 } es una base de T. Como antes de que T es una F-álgebra generada por un único elemento sujeto a una relación, y T ≅ F[x]/(x3-1) ≅ S × F.
Es obvio que H ≅ C3, por lo que esperamos que nuestros anillos de G y de H a de ser isomorfos. Sin embargo S tiene F-dimensión 2, y T tiene F-dimensión 3, así que no son isomorfos sobre cualquier campo de F.
Peor aún, no hay ninguna (unital) anillo homomorphism de S a T. Esto es particularmente fácil de ver cuando F es el campo de dos elementos, a partir de entonces S es un campo, y por ello la única (distinto de cero, unital) anillo homomorphisms son isomorphisms. Otra forma de expresar esto es decir que T no es ni siquiera un S-módulo; esto es cierto sobre todos los campos de F, pero es muy fácil ver cuando S es un campo.
Puesto simplemente, el anillo se definió el uso de G, es decir, S, es demasiado pequeño; no propiedades de la captura de C3 que son claramente evidentes uso de H y T.
El justo derecho-anillo R
Ok, así que tal vez S es demasiado pequeño. ¿Por qué no usar T? Así, T es tridimensional, pero h es un 4×4 de la matriz. Si hemos utilizado la base { h0, h1, h2 } luego podemos escribir cada uno de los poderes de h como de 3×3 de la matriz actng como la multiplicación en base a eso. Tendríamos un grupo K, definido como: $$k = \begin{bmatrix} . & 1 & . \\ . & . & 1 \\ 1 & . & . \end{bmatrix} \qquad K=\langle k\rangle \qquad R = F[k]$$
Ahora, de nuevo K ≅ C3. Coincidentemente, R ≅ T, tomando la base { k0, k1, k2 } de la manera obvia a la base { h0, h1, h2 }. Esta representación de la matriz se denomina regular de la representación y se utiliza en la típica definición de el anillo de grupo. Representa el grupo de orden n como n × n matrices actuando como permutaciones sobre una base indexados por el grupo subyacente.
Nosotros nunca necesitamos una mayor anillo? Me refiero a que seguro que H se veía más grande, mientras que el de menor K todavía cubierto, pero tal vez hay versiones de C3 que son aún más grandes! Por suerte K siempre es lo suficientemente grande. Cualquier anillo definimos para C3 debe por lo menos ser distribuido por el grupo, y por lo que podemos escribir el grupo como un cociente de la polinomio anillo en la variable x, sujeto por supuesto a x3 = 1, de modo que x genera un grupo X isomorfo a C3. Así pues, tenemos un cociente de una imagen tridimensional de anillo, F[x]/(x3-1) = R.
En otras palabras, cada anillo se define por una representación de C3 sobre el campo F será un cociente de un verdadero anillo de R. Por lo tanto R es universal, y es llamado el anillo de grupo.
Otros grupos finitos
Observe cómo S, T, y R fueron productos directos de la extensión de los campos de F. Esto vale no sólo para C3, pero para cualquier finito abelian grupo y cualquier campo base, cuya característica es la coprime a la orden del grupo. Para cualquier finito abelian grupo, la representación es el más pequeño de dimensiones de la representación que todavía genera el anillo de grupo. Los campos involucrados se define como la división de los campos de los factores irreducibles de xn-1, donde n es el exponente de un grupo. Si la característica de que el campo se divide al orden del grupo, entonces xn-1 ya no separables y se obtiene ligeramente más complicado de los anillos.
Para otros grupos finitos, los anillos no pueden todos ser conmutativa, de lo contrario el grupo en el interior del anillo de grupo todavía sería conmutativa. Mientras la característica de que el campo no divide al orden del grupo, los anillos están matriz de anillos por encima de la división de F-álgebras. Si xn-1 ya se divide sobre F, entonces usted acaba de obtener un producto directo de la matriz de anillos sobre F. Cuando la característica de que el campo se divide al orden del grupo, las cosas son mucho más complicadas. El ordinario de la representación no es usualmente la más pequeña de representación de generar el anillo de grupo, pero aún así es el más fácil de entender.
