Los dos únicos racional de los valores de coseno y su conexión con el Kummer Anillos

Question

Estoy tratando de aprender acerca de Kummer Anillos, y, en particular, lo que hace que $n=3,4,6$ tan especial. (Que es el Gaussiano y Eisenstein enteros)

La única $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$ que son racionales múltiplos de $\pi$ que $\cos(\theta)\in \mathbb{Q}$ $\theta=\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3}$ que corresponde exactamente a$n=4,6$$\frac{2\pi}{n}$.

Alguien puede darme una explicación de por qué $\cos(\theta)$ es racional sólo en estos casos? También, podemos ir a otro lado, y el uso de algunas agradable propiedad de la Kummer Anillos para mostrar que $\cos(2\pi/n)$ es racional si y sólo si $n=1,2,3,4,6$?

Gracias,

Edit: Como se ha señalado por Qiaochu, lo que anteriormente escribí más arriba, ciertamente, no era la norma.

Answer 1

En un campo de número de $K$, la norma de un elemento $N_{K/\mathbb{Q}}(a) = N(a)$ puede ser dado varias definiciones equivalentes, uno de los cuales es que es el determinante de la lineal mapa de $x \mapsto ax$ actuando en $K$ considerado como espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Si $\sigma_i : K \to \mathbb{C}$ denotar el complejo incrustaciones de $K$, entonces también tenemos

$$N(a) = \prod_i \sigma_i(a).$$

La norma es siempre racional.

Si $K$ tiene el grado $n$, entonces se ha $n$ complejo de incrustaciones (por ejemplo, la primitiva elemento teorema); en particular, la fijación de una base de $K$ y expresar $a$ en ella, la norma es un polinomio homogéneo de grado $n$. Es una forma cuadrática si y sólo si $n = 2$.

Ahora, el grado de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ es igual a $\varphi(m)$, que es igual a $2$ si y sólo si $m = 3, 4, 6$. En otras palabras, estos son los únicos cyclotomic campos que dan cuadrática extensiones. Esto está relacionado con la restricción cristalográfica teorema.

Sí, usted puede utilizar cyclotomic campos para demostrar que $\cos \frac{2\pi}{m}$ es racional sólo al $m = 1, 2, 3, 4, 6$. Una vez que usted sabe que $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ tiene el grado $\varphi(m)$ (pero esto no es trivial), se puede mostrar que ese $\mathbb{Q}(\zeta_m + \zeta_m^{-1})$ es un subcampo de índice $2$, por lo tanto es $\mathbb{Q}$ si y sólo si $\varphi(m) \le 2$.