¿Qué es un (-1)-morfismo?

Question

He leído el ensayo de John Baez "Lectures on n-categories and cohomology" y entiendo la noción de una (-1)-categoría" y una (-2)-categoría" y cómo derivarlas. Sin embargo, no tengo del todo claro qué es un (-1)-morfismo.

En nLab en http://ncatlab.org/nlab/show/k-morphism que encontré:

Para los propósitos del pensamiento negativo, puede ser útil reconocer que cada -categoría tiene un (1)-morfismo, que es la fuente y el objetivo de cada objeto.

Tengo una idea de cómo funciona esto, pero no estoy seguro de que sea correcto. Básicamente, mi pensamiento es que si $A$ y $B$ son objetos de una categoría 1 $C$ y $f$ y $g$ son ambos morfismos paralelos que mapean $A\to B$ y tomamos $S = hom_C(A,B)$ entonces obtenemos una categoría 0 (un conjunto) que contiene $f$ y $g$ como elementos (y sus identidades como morfismos). Ambos $hom_S(f,g)$ y $hom_S(f,g)$ nos dan cada una una categoría (-1) vacía (obviamente isomorfa). Entonces $hom_S(f,f)$ y $hom_S(g,g)$ nos dan cada una una (-1)-categoría con un solo objeto (también obviamente isomorfo). Ahora, tratamos las categorías (-1) isomorfas como equivalentes, por lo que sólo hay dos: la vacía llamada $False$ y, el no vacío llamado $True$ . Entonces, como todas las categorías (-1) no vacías son equivalentes, decidimos que sus morfismos también son equivalentes.

Así que, esta es mi pregunta que no estoy seguro:

• Pregunta 1: ¿Estoy en lo cierto al entender que el morfismo de identidad de un objeto en una categoría (-1) es un morfismo (-1)? Es un morfismo 0 si la (-1)-categoría se tratara como una categoría 1, pero si tenemos en cuenta que la (-1)-categoría se deriva de alguna categoría superior, ¿eso hace que el único morfismo 1 en la (-1)-categoría sea efectivamente un morfismo (-1) en la categoría superior?

Esto parece que daría sentido a la afirmación de que el único (-1)-morfismo es la fuente y el objetivo de cada 0-morfismo/objeto.

También me encontré con otro pasaje destinado a explicar el (-1)-morfismo que me despistó un poco:

Obsérvese también que todo k-morfismo tiene k+1 (k+1)-morfismos de identidad, que casualmente son todos iguales (lo que puede ser un resultado del argumento de Eckmann-Hilton). Así, el (1)-morfismo tiene 0 identidades 0-morfismos, por lo que no necesitamos ningún objeto. (Esto me confundió una vez).

• Pregunta 2: ¿Significa esto que una categoría vacía sigue teniendo un (-1)-morfismo? Si es así, ¿de dónde viene?
• Pregunta 3: ¿Significa esto que un 1-morfismo tiene 2 2-morfismos de identidad? Lo que yo entiendo por una "identidad" requiere que sea única. Tener 2 identidades para la misma cosa parece causar una contradicción. ¿Cómo puedo conciliar esto?

Answer 1

1. Un objeto es siempre un morfismo 0, por lo que el morfismo de identidad de un objeto es un morfismo 1.
2. Sí, la categoría vacía tiene un $(-1)$ -morfismo. La convención es que el $\infty$ -categoría generada por un $(-1)$ -el morfismo es el vacío $\infty$ -y, por lo tanto, cada $\infty$ -categoría tiene un único $(-1)$ -morfismo. Obsérvese que esto concuerda con la hipótesis de homotopía: es comúnmente aceptado que un $(-1)$ -debe ser el espacio vacío, porque esto produce una homología reducida de forma natural.
3. Los morfismos de identidad superior son únicos en un $\infty$ -categoría con estrictas leyes de intercambio, como se señala en la cita. En principio podrían ser diferentes (pero equivalentes): un $n$ -cubo puede ser degenerado en al menos $n$ diferentes maneras, si respetamos la orientación.

Answer 2

Por ejemplo, el $\infty$ categoría $Kom$ es decir, el nervio de la categoría de complejos de cadena sobre un campo. A $-1$ es un mapa de un complejo de cadenas a otro complejo de cadenas de grado $-1$ .