Hay una estructura algebraica para afín espacios

Question

En condiciones normales de espacios Vectoriales, se tienen los vectores y escalares, donde los vectores forman un campo, y escalares formar un grupo abelian.

Pero afín a los espacios que tiene la noción de punto opuesto al vector, y si bien tiene sentido sumar vectores para cada uno de los otros, no existe la noción de adición de puntos a cada uno de los otros, sin embargo, usted puede restar puntos para obtener los vectores. Y mientras que usted puede multiplicar escalares con los vectores, no tiene sentido para múltiples escalares con los puntos.

Me pregunto si no es una estructura algebraica que generaliza esta idea, porque me siento como que podría ser muy útil después de leer este artículo.

Answer 1

EDIT: creo que la lista de axiomas en esta respuesta es un poco incompleta y no sé cómo solucionarlo. Pero voy a dejar la respuesta ya que creo que es sobre todo de derecho, y de carácter informativo sobre la forma correcta de pensar acerca de las cosas.

En un espacio vectorial más general tipo de operación que se puede hacer es una combinación lineal, es decir, si usted tiene una lista de escalares $(a_1,\dots,a_n)$ y una lista de vectores $(v_1,\dots,v_n)$, entonces usted puede formar el vector

$$\sum_{i=1}^na_iv_i$$

En un espacio afín combinaciones lineales no tienen sentido. Por ejemplo, $0.5v$ significa "el punto a mitad de camino entre el origen y el $v$", pero no hay ningún origen en el espacio afín. Pero si los coeficientes $(a_i)_1^n$ total $1$ de las combinaciones lineales hace sentido. Por ejemplo, $0.75v+0.25w$ significa que el punto de una cuarta parte del camino de$v$$w$, que es en el espacio afín. Combinaciones lineales donde los coeficientes suma a $1$ son llamados "afín combinaciones".

Afín a los espacios pueden ser definidos de manera abstracta mediante afín combinaciones con dos argumentos. Definimos un espacio afín $\mathbb R$ ser $A$ equipada con una función de $c_p:A\times A\to A$ para cada uno de los escalares $p\in\mathbb R$ de manera tal que los siguientes axiomas mantenga

$$\forall x,y \quad c_0(x,y)=x$$ $$\forall x,p \quad c_p(x,x)=x$$ $$\forall x,y,p\quad c_p(x,y)=c_{1-p}(y,x)$$ $$\forall x,y,z,p,q \quad \text{either} \quad c_p(c_q(x,y),z)=c_{pq}(x,c_{\frac{p-pq}{1-pq}}(y,z)) \quad \text{or} \quad1-pq=0$$

El punto es que $c_p(x,y)$ se supone debe ser interpretado como $(1-p)x+py$. De hecho, si $A$ es un afín subespacio de un espacio vectorial, a continuación, $A$ puede ser dada en el anterior resumen de la estructura dejando $c_p(x,y)=(1-p)x+py$. Por el contrario, se puede comprobar que si tienes que elegir cualquier punto de $o\in A$ $A$ puede ser hecha en un espacio vectorial con $o$ como el origen tomando el escalar varios de $x$ $p$ $c_p(o,x)$ y tomando la suma de $x$$y$$c_2(o,c_{\frac 12}(x,y))$.

Answer 2

Una relacionada con la respuesta. En geometría, es una construcción de escalares de una geometría.

Usted comienza con un $n$-dimensiones afín a la geometría, especificado por los axiomas geométricos, sin mención de coordenadas. A continuación, se construye a partir de un campo de $K$, de modo que la geometría se identifica con $K^n$.

Un interesante dato: si la dimensión $n$ ${}\ge 3$ el campo $K$ es conmutativa como se esperaba. Pero si $n=2$ usted podría conseguir un no-commutaitive "sesgo de campo" o "la división de los anillos". A menos que se agregue el Teorema de Desargues, como un axioma, que luego se asegura de que $K$ es conmutativa.