Relaciones de conmutación en QFT y el principio de localidad

Question

Mi pregunta es, dados dos espacio-tiempo de los puntos de $x^{\mu}$$y^{\mu}$, si los eventos que se producen en estos puntos son simultáneas, es decir,$x^{0}=y^{0}$, son los dos eventos necesariamente como el espacio separado? La razón que pido es que estoy tratando de comprender la noción de igualdad de tiempo relaciones de conmutación en QFT (en el que el colector es distinto de cero en el caso de que $\mathbf{x}=\mathbf{y}$).

Por ejemplo, si uno tiene un campo de $\phi$ y su conjugado impulso $\Pi_{\phi}(y)$, entonces la conmutación relación entre ellos está dado por $$[\phi (t,\mathbf{x}),\Pi_{\phi}(t,\mathbf{y})]=i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$ Ahora es la razón de ser igual a un $\delta$-la función debido a la localidad? es decir, dado que los dos campos son evaluados al mismo tiempo, entonces como localidad exigencias que sólo pueden "comunicarse" si están separados por un tiempo-como la separación, que necesariamente debe ser evaluado en el mismo punto del espacio, como si $\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$, será como el espacio de separación entre los dos campos (como $\Delta s^{2}=(x^{0}-y^{0})^{2}-(\mathbf{x}-\mathbf{y})^{2}=-(\mathbf{x}-\mathbf{y})^{2}<0$), y por lo tanto, conmutar (para obedecer a la localidad)?

Answer 1

Una manera de definir spacelike separación en la relatividad especial es que cualquiera de los dos eventos son spacelike separada, si y sólo si existe un marco de referencia en el que los dos eventos tienen el mismo tiempo de coordenadas. Así que sí, si $x^0 = y^0$ la separación es spacelike.

Alternativamente, usted puede trabajar a partir de la definición que dos eventos son spacelike separada, si (y sólo si) el intervalo entre ellos tiene el mismo signo de los componentes espaciales de la métrica. En otras palabras, si la métrica de la convención de es $(-1,1,1,1)$, un spacelike intervalo de ha $\Delta s^2 > 0$, o si el uso de $(1,-1,-1,-1)$ ha $\Delta s^2 < 0$. Si $x^0 = y^0$, entonces es claro que el intervalo se determina sólo por los componentes espaciales, y necesariamente tienen el mismo signo.

Answer 2

La razón por la que las relaciones de conmutación entre un campo y su conjugado en tiempos iguales son de la forma $$ \left[\phi(t,\textbf{x}),\pi(t,\textbf{y})\right]=i\manejadores\,\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y}) $$ es sólo al espejo y copia de la canónicas de hamilton relaciones de conmutación $[q_i,p_j]=i\hbar\,\delta_{ij}$. No hay causalidad está involucrado, sino que de alguna manera es la definición de campo cuántico relaciones de conmutación, que se emplean, básicamente, la copia de los de clásico punto de partículas de la teoría y la ampliación a un número infinito de grados de libertad.

Sin embargo, observe que aquellos en los conmutadores no son los operadores, sino que son el operador de valores de las distribuciones que hacen sentido a medida que los operadores sólo cuando se unta con adecuado de las funciones de prueba. Sólo entonces podemos hablar de causalidad, porque tenemos una definición concreta de separados espacialmente dominios. Como tal, la definición correcta de la causalidad en la teoría cuántica de campos es $$ \left[\phi(f),\varphi(g)\right]=0\qquad\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)=\textrm{espacio}. $$ Si se calcula el anterior en los casos más sencillos, por ejemplo, para la libre Klein-Gordon campo (o de Dirac) verás que la derecha va a producir un resultado que siempre se desvanece para el espacio, distancias, debido a las propiedades de la transformación de Lorentz (o, equivalentemente, las cancelaciones en los integrales). Para non-free teorías de la cuestión es mucho más sutil y generalmente relaciones de conmutación debe ser impuesta sino que la calculada (a menos que usted sabe algunos trucos).

En pocas palabras: la causalidad se refiere a los operadores untado con las funciones de prueba; no dar información sobre las relaciones de conmutación de los operadores en igualdad de tiempos, que no son sino una mera extensión de la $q,p$ canónica relaciones de conmutación. Y sí, si $x^0=y^0$, como usted ha señalado, los dos eventos son como el espacio separado ya que tienen al menos un marco de referencia (el que se inició con) donde suceden al mismo tiempo.