Teorema 3.1 de Milnor de la Teoría de Morse

Question

Milnor está en el negocio de la prueba de que si $f: M \to \mathbb{R}$ es una función suave, $a < b$, e $f^{-1} ([a,b])$ es un subconjunto compacto de $M$ que no contiene puntos críticos, a continuación, $M^a$ es diffeomorphic a $M^b$ donde $M^x = f^{-1} (-\infty, x]$.

En la prueba, empieza por equipar $M$, con una métrica de Riemann $g$ y, a continuación, considerando suave, un campo de vectores $X$ tal que $X = g(\nabla f, \nabla f)^{-1} \nabla f$ $f^{-1}([a,b])$ $X$ es de forma compacta compatible. Él, a continuación, genera una máxima de flujo de $\theta :\mathbb{R} \times M \to M$$X$. Él señala a continuación que si $\theta_q(t) \in f^{-1}([a,b])$, $\frac{d (f \circ \theta_q(t)}{dt}$ = 1, y por lo tanto el diffeomorphism $\theta_{b-a}$ es de $M^a$ diffeomorphically en $M^b$.

Yo no entiendo como esta de la siguiente manera. Entiendo que, en esencia, que lo que voy a ver es que si $f(q) = a$, entonces puedo escribir $f \circ \theta_q(t) = t + a$ y luego tomar la $t = b - a$.

No veo por qué estoy justificado en la obtención de la expresión anterior para $f \circ \theta_q(t)$, a pesar de saber que $(f \circ \theta_q)' (0) = 1$ (no lo necesito para saber que la derivada es 1 en un barrio de 0 a deducir que $f \circ \theta_q$ a nivel local es dada por la función lineal? Quizás $\theta_q$ intersecta $f^{-1}([a,b])$$t = 0$).

Answer 1

Sugerencia: Lo que usted necesita es una compacta compatible campo de vectores $X$ con las siguientes propiedades:

\begin{eqnarray} 0\le\langle X, \text{grad} \,f \rangle \le &1& \ \text{everywhere on } M \\ \langle X, \text{grad}\,f \rangle = &1& \text{ on } f^{-1}[a,b] \end{eqnarray}

Para obtener $X$, comenzar con $X_1 = \frac{\text{grad}\, f}{||\text{grad}\, f||^2}$ $f^{-1}[a,b]$ y bajar el tono con un compacto admite la función $\psi$ con valores en $[0,1]$, $\ \psi = 1$ en un conjunto abierto que contiene a $f^{-1}[a,b]$, e $\psi=0$ sobre un conjunto abierto que contiene los posibles ceros de la gradiente de campo $\text{grad}\, f$ (los puntos críticos de $f$). Por lo $X= \psi \cdot X_1$. Desde $X$ es de forma compacta compatible, la $1$ grupo de parámetros de diffeomorphisms asociados a $X$ es definido globalmente $$\theta\colon \mathbb{R} \times M \to M$$ La declaración es que $$\theta_{b-a}(M^a)=(M^b)$$

Aquí están algunas de las comprobaciones que resulte de la instrucción:

1. Para cualquier $m \in M$ hemos $$\frac{d}{dt} f( \theta_t(m)) = \langle X\, (\theta_t(m)) , (\text{grad }\, f)\,(\theta_t(m))\rangle \in [0,1]$$

2. Para cualquier $d \ge 0$ hemos

   $$f (\theta_d(m)) - f (m)= \int_0^d \frac{d}{dt} f( \theta_t(m))\, dt \in [0,d] $$

3. Para cualquier $d\ge 0$ $m \in M$ hemos

$$ 0 \le f(\theta_d(m) ) - f(m) \le d$$

4. Para cualquier $d \ge 0$ hemos

\begin{eqnarray} \theta_d(M^h) &\subset& M^{h+d} \\ \theta_{-d}(M^h) &\subset& M^{h} \end{eqnarray}

5. $$\theta_{b-a}(M^a) \subset M^b$$

6. $$\theta_{-(b-a)}(f^{-1}[a,b]) \subset M^a$$

Este es el único punto en el que necesitamos un poco de argumento. Vamos y $m \in f^{-1}[b,a]$, $\ f(m) = a + \delta$ donde $0 \le \delta \le b-a$. Pretendemos que $f(\theta_{-s}(m)) = a+ \delta -s$ para todos los $s \in [0,\delta]$ $\tiny{\text{ the tire meets the road right here}}$. Vamos a ver primero que $\theta_{-s}(m) \in f^{-1}[a,b]$. De hecho, $f(\theta_{-s}(m)) \ge a+ \delta -s$ todos los $s \ge 0$. Sin embargo, para $s \in [0,\delta]$ tenemos que $a+ \delta -s\ge a$, y por lo $f(\theta_{-s}(m) \ge a$. Por otra parte, $f(\theta_{-s}(m)) \le f(m) \le b$. Por lo tanto, $\theta_{-s}(m)\in [f^{-1}(a), f^{-1}(b)]$ todos los $s \in [0, \delta]$. Ahora obtenemos $$\frac{d}{dt} f(\theta_{-s}(m)) = -1$$ for all $s \[0, \delta]$ debido a $\langle X, \text{grad}\,f \rangle = 1$ $ f^{-1}[a,b]$ $\theta_{-s}(m)$ se queda en $f^{-1}[a,b]$. Integrando obtenemos $f(\theta_{-s}(m) = f(m)-s$ $s \in [0, \delta]$ y, en particular, $$f(\theta_{-\delta}(m)) = f(m) - \delta = a$$ Ahora la aplicación de la transformación $\theta_{-(b-a-\delta)}$ $\theta_{-\delta}(m)$la llevará a un punto con un valor más bajo de $f$, que es, aún en $M^a$. Por lo tanto, $\theta_{-(b-a)}(m) \in M^a$

7. $$\theta_{-(b-a)} M^b \subset M^a$$ De hecho, $\theta_{-(b-a)}(M^a) \subset M^a$$\theta_{-(b-a)}(f^{-1}[a,b]) \subset M^a$, por lo que para la unión también.

8. Por lo tanto tenemos \begin{eqnarray} \theta_{b-a}(M^a ) &\subset& M^b \\ \theta_{-(b-a)}(M^b) &\subset& M^a \end{eqnarray} y por lo $$\theta_{b-a}(M^a) = M^b$$