Para describir la física del espacio-tiempo de 4 dimensiones partiendo de un espacio de 10 dimensiones, consideramos que el espacio extra de 6 dimensiones tiene un tamaño muy pequeño (aproximadamente la longitud de Planck). Esto se llama la comopactificación en la teoría de cuerdas. Entonces la simetría de la teoría requiere que este espacio interno sea plano de Ricci: \begin{equation} R_{IJ}=0 \end{equation} donde $I$ y $J$ van de 0 a 6.
Dado que las variedades C-Y tienen la estructura de las variedades complejas, es conveniente utilizar los índices de las mismas, es decir $i,j=1,2,3$ . La métrica en las variedades C-Y es del tipo (1,1) $G_{i,\bar j}$ y obtenemos la forma cerrada (1,1) de la métrica \begin{equation} \omega =\sqrt{-1}G_{i\bar j} dz^i\wedge d\bar z^{\bar j} . \end{equation} Y no existe ninguna forma holomórfica evanescente $\Omega_{klm}$ ya que el tensor de Ricci desaparece.
A continuación consideramos los módulos de las variedades C-Y. Si el objeto geométrico se puede deformar de forma continua conservando sus propiedades geométricas, llamamos módulos a los parámetros de esta deformación. Supongamos que la métrica $G_{IJ}(y)$ está dada en un colector C-Y $M$ donde $y$ es la coordenada local de $M$ . Y suponer que el cambio métrico $G_{IJ}+g_{IJ}$ y esta nueva métrica también da RIcci plana. Entonces tomando el primer orden de la deformación de la métrica, tenemos \begin{equation} \Delta_6 g_{IJ}(y)=0 \end{equation} donde $\Delta_6$ es un laplaciano de 6 dimensiones. Así pues, la deformación de la métrica que preserva la definición de las variedades C-Y viene dada por la función propia del laplaciano con su valor propio cero. En general, los valores propios de $-\Delta_6$ toman valores cero y positivos: \begin{equation} -\Delta_6 f_{IJ}^\alpha(y)=m_\alpha^2 f_{IJ}^\alpha(y), \,\,\,\alpha=1,2,\cdots. \end{equation} Consideremos el caso de que la deformación de la métrica $g_{IJ}$ es del tipo (1,1), $\delta g_{i\bar j}$ y del tipo (2,0) , $\delta g_{i j}$ respectivamente. Por lo general, la métrica de una variedad de K\"ahler es del tipo (1,1) y $g_{i\bar j}$ da la deformación que preserva este tipo. Esto se llama la deformación de la estructura de K\"ahler. La deformación de la estructura de K\"ahler se describe mediante una solución de la ecuación \begin{equation} \Delta_6 \omega_{i j}(y)=0, \end{equation} es decir, está dada por una forma armónica (1,1). El número de una forma armónica (1,1) viene dado por el número de Hodge $h_{1,1}$ del colector $M$ . Por otra parte, la deformación de tipo (2,0) de la métrica implica la deformación de la estructura compleja en una variedad compleja. Utilizando el complejo conjugado $\bar \Omega$ de $\Omega$ obtenemos \begin{equation} \chi_{i\bar j \bar k} \equiv \delta g_{ij} G^{j\bar k} \bar \Omega_{\bar k\bar l\bar m}. \end{equation} Por lo tanto, la deformación de la estructura compleja se describe mediante la forma armónica (1,2) y el grado de libertad de la deformación se convierte en el número de Hodge $h_{1,2}=h_{2,1}$ . Como vemos, las variedades C-Y tienen dos tipos de parámetros de deformación, los parámetros de K\"ahler y los parámetros de estructura compleja, que se denominan módulos, y los parámetros de K\"ahler corresponden al grado de cambio del tamaño y los parámetros de estructura compleja corresponden al de la deformación de la forma. La métrica del espacio de módulos de la estructura compleja es \begin{equation} G_{\alpha\bar\beta}^{\rm mod}=-\frac{i\int\chi_\alpha\wedge\bar\chi_{\bar \beta}}{i\int\Omega\wedge\bar\Omega} \end{equation} Recordando que la métrica $G^{\rm mod}_{\alpha\bar\beta}$ del espacio de moduli de la estructura compleja puede obtenerse a partir del potencial de K\"ahler $\cal K$ \begin{equation} G_{\alpha\bar\beta}^{\rm mod}=\partial_{\alpha}\partial_{\bar\beta}{\cal K} \ , \end{equation} se encuentra que el potencial de K'ahler puede escribirse como \begin{equation} {\cal K}=-\log\int\left(i\int \Omega\wedge\bar\Omega \right) \ . \end{equation}
Elijamos la base $C_a$ $(a=1,\cdots, h_{1,1})$ del ciclo 4 como los duales de la forma armónica (1,1) $\omega^a\equiv\omega^a_{i\bar j}d\!z^i\wedge d\! z^{\bar j}$ $(a=1,\cdots, h_{1,1})$ . Entonces podemos ampliar \begin{equation} \ast C+\sqrt{-1}\omega=\sum t_a \omega^a \end{equation} donde $\omega$ es la forma de K\"ahler y $C$ es el campo tensorial antisimétrico 4 que es el compañero del campo gravitatorio. Entonces los coeficientes de la expansión vienen dados por \begin{equation} t_a =\int _{C_a} (C+\sqrt{-1}\ast\omega). \end{equation} Se trata de los parámetros de los módulos de K\"ahler complejizados.
Del mismo modo, elijamos la base $A_a$ y $B_a$ $(a=0,1,\cdots, h_{1,2})$ de 3 ciclos para que los números de intersección satisfagan $A_a\cap B_b=\delta_{ab}, A_a\cap A_b=B_a\cap B_b=0$ . En este caso, se sabe que los parámetros se toman como los módulos de la deformación de la estructura compleja \begin{equation} z_a=\int_{A_a} \Omega, \,\,\, a=a,\cdots, h_{1,2}. \end{equation} Y también se sabe que la integral de $\Omega$ sobre el ciclo $B_a$ se puede escribir \begin{equation} \frac{\partial F}{\partial z_a}=\int _{B_a} \Omega,\,\,\, a=a,\cdots, h_{1,2} \end{equation} donde $F$ es una función holomorfa de $z_a$ y se denomina prepotencial.
Bajo la compactación de una variedad C-Y los campos de la teoría de 10 dimensiones pueden ser expandidos por las funciones propias del Laplaciano de 6 dimensiones \begin{equation} f_{IJ}(x,y)=\sum_\alpha \phi^\alpha(x)f_{IJ}^\alpha(y). \end{equation} Entonces la función de onda de la teoría de 10 dimensiones se reduce a la ecuación de campo de 4 dimensiones: \begin{eqnarray} &&\Delta_{10}f_{IJ}(x,y)=(\Delta_{4}+\Delta_{6})\sum_\alpha\phi^\alpha(x)f_{IJ}^\alpha(y)=0 \ && \rightarrow (\Delta_{4}-m_\alpha^2) \phi^\alpha(x)=0. \end{eqnarray} Por lo tanto, el campo escalar $\phi_\alpha$ con masa $m_\alpha$ aparece en el espacio de 4 dimensiones correspondiente al valor propio $m_\alpha^2$ del laplaciano de seis dimensiones. Especialmente, la masa del campo escalar correspondiente a los módulos del colector se hace cero y la partícula escalar sin masa, partícula de los módulos aparece en la teoría efectiva de cuatro dimensiones. Entonces el valor de la expectativa del vacío correspondiente al parámetro $\{t_a, z_a\}$ . Dado que el valor propio no nulo $m_\alpha$ del Laplaciano es inversamente proporcional al cuadrado del tamaño del espacio $M$ y adquieren una masa muy pesada, podemos descuidarlos.
${\rm \bf Note\ Added}$ : Una vez que la teoría de cuerdas de tipo II se compacte en una colector de Calabi-Yau $M$ la teoría efectiva de baja energía de 4d se describe por ${\cal N}=2$ supergravedad. El contenido de campo de ${\cal N}=2$ La supergravedad consiste en el multiplete de Weyl (gravedad), los multipletes vectoriales y los hipermultipletes. Las acciones efectivas para los multipletes vectoriales y los hipermultipletes se describen mediante un modelo sigma no lineal con espacios objetivo, el espacio de moduli de los multipletes vectoriales y el espacio de moduli de los hipermultipletes, respectivamente. En particular, los términos cinéticos de los escalares $\phi^i$ en los multipletes vectoriales y los hipermultipletes pueden escribirse como \begin{equation} \int_{M_4}d^4x\sqrt{g}G_{ij}\partial_\mu \phi^i \partial^\mu \phi^j +\cdots \end{equation} donde $G_{ij}$ es la métrica del espacio de moduli. En las compactaciones de tipo IIA, el espacio de módulos de los multipletes vectoriales coincide con el espacio de módulos de K\"ahler complejo y el espacio de módulos de los hipermultipletes es el espacio de módulos de la estructura compleja. En el tipo IIB, viceversa. En las compactificaciones de tipo IIB, la acción efectiva de baja energía de los multipletes vectoriales viene dictada por el prepotencial $F$ debido a la supersimetría. Debido a la simetría de espejo podemos restringir nuestra atención a una de las dos teorías de tipo II.
