¿Cómo se resuelven estas tres ecuaciones?

Question

Si α ,β ,γ son tres números s.t.:

$\ α^ \ $ + $\ β \ $ + $γ \ $ = -2

$\ α^2 \ $ + $\ β^2 \ $ + $γ^2 \ $ = 6

$\ α^3 \ $ + $\ β^3 \ $ + $γ^3 \ $ = -5,

entonces $\ α^4 \ $ + $\ β^4 \ $ + $γ^4 \ $ es igual ??

Traté de sustituir los valores de cada ecuación a otra ...pero se hizo muy complejo .. también recuerdo algunos crammers regla para esto ..utilizando las matrices?? Es que el camino??

Answer 1

Deje $A_{n}=a^n+b^n+c^n$. Entonces tenemos $$A_{n+3}=(a+b+c)A_{n+2}-(ab+bc+ac)A_{n+1}+abcA_{n}$$ y $$2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=4-6=-2$$

$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc$$ A continuación, podemos encontrar fácilmente $abc$.

Answer 2

SUGERENCIA:

$$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

Ahora $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)$$

$$2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$$ we can find $ab+bc+ca$ a partir de aquí

$$a^3+b^3+c^3-3abc$$

$$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$$

$$=(a+b+c)\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c)$$

$$=(a+b+c)\{(a+b)^2+c^2-3ab\}$$

$$= (a+b+c)\{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\}$$ we can find $abc$ desde aquí